Exercício 2. Considere as funções definidas abaixo.
Para cada função dada acima, faça o seguinte
(i) Esboce o gráfico de f(x);
(ii) Determine a série de Fourier em senos de f;
(iii) Determine a série de Fourier em cossenos de f.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<2 \\\\ 2, & 2 \leq x<3\end{array}\right..

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede, ponto a ponto.
  • A função é dada no intervalo 0\le x<3\) (podemos trabalhar em \([0,3]\) definindo \(f(3)=2\) se necessário para as séries) por \[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<2,\\[4pt] 2, & 2\le x<3. \end{cases}
  • O enunciado pede três coisas:
    (i) esboçar o gráfico de f(x)\] em \([0,3];(ii) determinar a série de Fourier em senos de f (série de senos em (0,L) com L=3);
    (iii) determinar a série de Fourier em cossenos de f (série de cossenos em (0,L) com L=3).
Todas as integrais que vamos precisar serão no intervalo 0\le x\le3. Vou usar L=3 e o número de onda
k=\frac{n\pi}{L}=\frac{n\pi}{3}.]

Passo 2

(i) Esboço do gráfico (descrição para desenhar facilmente na prova).
  • Para 0\le x\le2 a função é f(x)=x: é a reta que passa por (0,0) e (2,2).
  • Para 2\le x\le3 a função é constante f(x)=2: é o segmento horizontal que vai de (2,2) até (3,2).
  • No ponto x=2 as duas definições coincidem ( x=2 f(2)=2), logo é contínua em x=2. Em x=0 o valor é 0. Em x=3 originalmente não está definido, mas podemos tomar f(3)=2 para completar o intervalo.
    Desenhe uma reta crescente de 0 a 2 e depois um segmento horizontal de altura 2 até x=3.

Passo 3

(ii) Série de Fourier em senos — preparação e fórmula.
  • Para a série em senos num intervalo (0,L) (aqui L=3) representamos
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde os coeficientes são dados por
b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
  • Substituindo L=3 e k=\dfrac{n\pi}{3} obtemos
b_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3} f(x)\sin(kx)\,dx =\frac{2}{3}\Big(\int_{0}^{2} x\sin(kx)\,dx+\int_{2}^{3} 2\sin(kx)\,dx\Big).
Agora vou calcular as duas integrais separadamente, com todas as etapas.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{2} x\sin(kx)\,dx por partes.
  • Use integração por partes: tome u=x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
  • Assim
\int x\sin(kx)\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \int \frac{\cos(kx)}{k}\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^2} + C.
  • Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x\sin(kx)\,dx = \Big[-\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^2}\Big]_{0}^{2} = -\frac{2\cos(2k)}{k} + \frac{\sin(2k)}{k^2}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int_{2}^{3} 2\sin(kx)\,dx.
  • Integrando diretamente:
\int_{2}^{3} 2\sin(kx)\,dx = 2\Big[-\frac{\cos(kx)}{k}\Big]_{2}^{3} = -\frac{2}{k}\big(\cos(3k)-\cos(2k)\big).

Passo 6

Combinação para b_n e simplificação usando k=\dfrac{n\pi}{3}.
  • Soma das duas integrais:
\int_{0}^{2} x\sin(kx)\,dx+\int_{2}^{3} 2\sin(kx)\,dx = -\frac{2\cos(2k)}{k} + \frac{\sin(2k)}{k^2} -\frac{2}{k}\big(\cos(3k)-\cos(2k)\big).
  • Agrupando termos em \cos(2k):
-\frac{2\cos(2k)}{k} + \frac{2\cos(2k)}{k} -\frac{2\cos(3k)}{k} + \frac{\sin(2k)}{k^2} = -\frac{2\cos(3k)}{k} + \frac{\sin(2k)}{k^2}.
  • Agora k=\dfrac{n\pi}{3} implica 3k=n\pi e \cos(3k)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto a soma vale
-\frac{2(-1)^n}{k} + \frac{\sin(2k)}{k^2}.
  • Substituindo na fórmula de b_n:
b_n=\frac{2}{3}\Big(-\frac{2(-1)^n}{k}+\frac{\sin(2k)}{k^2}\Big).
  • Como k=\dfrac{n\pi}{3} tem 1/k=\dfrac{3}{n\pi} e 1/k^2=\dfrac{9}{n^2\pi^2}, obtemos
b_n=-\frac{4(-1)^n}{n\pi}+\frac{6\sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)}{n^2\pi^2}.
  • Observação prática (útil na prova): \sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr) tem valores simples dependendo de n\bmod3:
    • Se n\equiv 0\pmod{3} então \sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=0.
    • Se n\equiv 1\pmod{3} então \sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • Se n\equiv 2\pmod{3} então \sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo alternativamente, para n\not\equiv 0\pmod{3},
b_n=-\frac{4(-1)^n}{n\pi}+\frac{6\cdot(\pm\sqrt{3}/2)}{n^2\pi^2} = -\frac{4(-1)^n}{n\pi}\pm\frac{3\sqrt{3}}{n^2\pi^2},
com sinal + para n\equiv1 e sinal - para n\equiv2.
  • Portanto a série em senos é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\Big(-\frac{4(-1)^n}{n\pi}+\frac{6\sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)}{n^2\pi^2}\Big)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).

Passo 7

(iii) Série de Fourier em cossenos — fórmula e cálculo de coeficientes.
  • A série em cossenos em (0,L) é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde
a_0=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
  • Com L=3 e k=\dfrac{n\pi}{3} temos
a_0=\frac{2}{3}\int_0^3 f(x)\,dx =\frac{2}{3}\Big(\int_0^2 x\,dx+\int_2^3 2\,dx\Big).
Calcule:
\int_0^2 x\,dx=\frac{2^2}{2}=2,\qquad \int_2^3 2\,dx=2,
logo \int_0^3 f(x)\,dx=4 e
a_0=\frac{2}{3}\cdot 4=\frac{8}{3},
portanto o termo constante da série é a_0/2=\dfrac{4}{3}.

Passo 8

Cálculo de a_n.
  • Escreva
a_n=\frac{2}{3}\Big(\int_{0}^{2} x\cos(kx)\,dx+\int_{2}^{3} 2\cos(kx)\,dx\Big).
  • Calcule \displaystyle \int x\cos(kx)\,dx por partes: tome u=x, dv=\cos(kx)\,dx, então v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Assim
\int x\cos(kx)\,dx = \frac{x\sin(kx)}{k} - \int \frac{\sin(kx)}{k}\,dx = \frac{x\sin(kx)}{k} + \frac{\cos(kx)}{k^2} + C.
  • Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x\cos(kx)\,dx = \Big[\frac{x\sin(kx)}{k} + \frac{\cos(kx)}{k^2}\Big]_0^2 = \frac{2\sin(2k)}{k} + \frac{\cos(2k)-1}{k^2}.
  • E
\int_{2}^{3} 2\cos(kx)\,dx = 2\Big[\frac{\sin(kx)}{k}\Big]_2^3 = \frac{2}{k}\big(\sin(3k)-\sin(2k)\big).
  • Somando:
\int_{0}^{2} x\cos(kx)\,dx+\int_{2}^{3} 2\cos(kx)\,dx = \frac{2\sin(2k)}{k} + \frac{\cos(2k)-1}{k^2} + \frac{2}{k}(\sin(3k)-\sin(2k)).
  • Os termos com \sin(2k) se cancelam ( \frac{2\sin(2k)}{k}-\frac{2\sin(2k)}{k}=0), sobrando
\frac{2\sin(3k)}{k} + \frac{\cos(2k)-1}{k^2}.
  • Mas \sin(3k)=\sin(n\pi)=0. Logo a parte com \sin(3k) some e ficamos com
\int_{0}^{3}\! f(x)\cos(kx)\,dx = \frac{\cos(2k)-1}{k^2}.
  • Substituindo em a_n:
a_n=\frac{2}{3}\cdot\frac{\cos(2k)-1}{k^2}.
  • Usando k=\dfrac{n\pi}{3} e 1/k^2=\dfrac{9}{n^2\pi^2} obtemos
a_n=\frac{6}{n^2\pi^2}\bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)-1\bigr).

Passo 9

Forma final e simplificações úteis dos coeficientes em cossenos.
  • Note que \cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\) depende de \(n\bmod3\): - Se \(n\equiv 0\pmod{3}\) então \(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\cos(2\pi m)=1\) e portanto \(a_n=0\). - Se \(n\equiv 1\) ou \(2\pmod{3}\) então \(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\). Então \[a_n=\frac{6}{n^2\pi^2}\Big(-\frac{1}{2}-1\Big)=\frac{6}{n^2\pi^2}\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{9}{n^2\pi^2}.
  • Resumindo:
a_n=\begin{cases} 0, & 3\mid n,\\[4pt] -\dfrac{9}{n^2\pi^2}, & 3\nmid n. \end{cases}
  • Portanto a série em cossenos é
f(x)\sim \frac{4}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n^2\pi^2}\bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr),
ou, explicitando o valor dos (a_n],
f(x)\sim \frac{4}{3}+\sum_{\substack{n=1\\\ 3\nmid n}}^{\infty}\Big(-\frac{9}{n^2\pi^2}\Big)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).]

Resposta

(i) Gráfico: reta f(x)=x de (0,0) a (2,2) e depois segmento horizontal f(x)=2 de (2,2) a (3,2).
(ii) Série de senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\Big(-\frac{4(-1)^n}{n\pi}+\frac{6\sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)}{n^2\pi^2}\Big)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).
(iii) Série de cossenos:
f(x)\sim \frac{4}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n^2\pi^2}\bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)-1\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr),
ou, equivalentemente,
f(x)\sim \frac{4}{3}+\sum_{\substack{n=1\\\ 3\nmid n}}^{\infty}\Big(-\frac{9}{n^2\pi^2}\Big)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).

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