Exercício 2. Considere as funções definidas abaixo.
Para cada função dada acima, faça o seguinte
(i) Esboce o gráfico de f(x);
(ii) Determine a série de Fourier em senos de f;
(iii) Determine a série de Fourier em cossenos de f. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<2 \\\\ 2, & 2 \leq x<3\end{array}\right..
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede, ponto a ponto.
A função é dada no intervalo 0\le x<3\) (podemos trabalhar em \([0,3]\) definindo \(f(3)=2\) se necessário para as séries) por
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<2,\\[4pt] 2, & 2\le x<3. \end{cases}
O enunciado pede três coisas:
(i) esboçar o gráfico de f(x)\] em \([0,3];(ii) determinar a série de Fourier em senos de f (série de senos em (0,L) com L=3);
(iii) determinar a série de Fourier em cossenos de f (série de cossenos em (0,L) com L=3).
Todas as integrais que vamos precisar serão no intervalo 0\le x\le3. Vou usar L=3 e o número de onda
k=\frac{n\pi}{L}=\frac{n\pi}{3}.]
Passo 2
(i) Esboço do gráfico (descrição para desenhar facilmente na prova).
Para 0\le x\le2 a função é f(x)=x: é a reta que passa por (0,0) e (2,2).
Para 2\le x\le3 a função é constante f(x)=2: é o segmento horizontal que vai de (2,2) até (3,2).
No ponto x=2 as duas definições coincidem (x=2 dá f(2)=2), logo é contínua em x=2. Em x=0 o valor é 0. Em x=3 originalmente não está definido, mas podemos tomar f(3)=2 para completar o intervalo.
Desenhe uma reta crescente de 0 a 2 e depois um segmento horizontal de altura 2 até x=3.
Passo 3
(ii) Série de Fourier em senos — preparação e fórmula.
Para a série em senos num intervalo (0,L) (aqui L=3) representamos
Forma final e simplificações úteis dos coeficientes em cossenos.
Note que \cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\) depende de \(n\bmod3\):
- Se \(n\equiv 0\pmod{3}\) então \(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\cos(2\pi m)=1\) e portanto \(a_n=0\).
- Se \(n\equiv 1\) ou \(2\pmod{3}\) então \(\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\). Então
\[a_n=\frac{6}{n^2\pi^2}\Big(-\frac{1}{2}-1\Big)=\frac{6}{n^2\pi^2}\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{9}{n^2\pi^2}.
Resumindo:
a_n=\begin{cases} 0, & 3\mid n,\\[4pt] -\dfrac{9}{n^2\pi^2}, & 3\nmid n. \end{cases}
ou, explicitando o valor dos (a_n], f(x)\sim \frac{4}{3}+\sum_{\substack{n=1\\\ 3\nmid n}}^{\infty}\Big(-\frac{9}{n^2\pi^2}\Big)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).]
Resposta
(i) Gráfico: reta f(x)=x de (0,0) a (2,2) e depois segmento horizontal f(x)=2 de (2,2) a (3,2).