Calcule a convolução (f * g)(x) das funções
f(x)=cc 1-x, & 0áá

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a convolução de duas funções de suporte finito. As funções são
f(x)=1−x para 0<x<1 (zero caso contrário) e g(x)=1 para 0<x<1 (zero caso contrário). Vamos usar a definição de convolução e determinar bem os limites de integração.

Passo 2

A definição de convolução é
(f * g)(x)=integral-infty^inftyf(t),g(x-t),dt
Como f(t)≠0 só em 0<t<1 e g(x−t)≠0 só em 0<x−t<1, o integrando é não-nulo apenas quando t∈(0,1)∩(x−1,x).

Passo 3

Isso implica que (f*g)(x)≠0 só para x∈(0,2). Em cada região de x temos limites de integração:
  • Se 0<x<1 então t varia de 0 até x.
  • Se 1≤x<2 então t varia de x−1 até 1.

Passo 4

Para 0<x<1 calculamos
(f*g)(x)=integral0^x(1-t),dt
Vamos avaliar:
Integrando, integral(1-t)dt=t-tfract^22. Então
(f*g)(x)=l[t-tfract^22r]0^x=x-tfracx^22

Passo 5

Para 1≤x<2 calculamos
(f*g)(x)=integralx-1^1(1-t),dt
Usando a mesma primitiva, obtemos
(f*g)(x)=l[t-tfract^22r]x-1^1= l(1-tfrac12r)-l((x-1)-tfrac(x-1)^22r)=tfrac(2-x)^22

Passo 6

Fora dessas duas regiões (x≤0 ou x≥2), a convolução vale zero, pois os suportes não se sobrepõem.

Resposta

(f * g)(x)= 0, & x<= 0, x-tfracx^22, & 0= 2

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