Calcule a convolução
das funções
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a convolução de duas funções de suporte finito. As funções são
f(x)=1−x para 0<x<1 (zero caso contrário) e g(x)=1 para 0<x<1 (zero caso contrário). Vamos usar a definição de convolução e determinar bem os limites de integração.
f(x)=1−x para 0<x<1 (zero caso contrário) e g(x)=1 para 0<x<1 (zero caso contrário). Vamos usar a definição de convolução e determinar bem os limites de integração.
Passo 2
A definição de convolução é
Como f(t)≠0 só em 0<t<1 e g(x−t)≠0 só em 0<x−t<1, o integrando é não-nulo apenas quando t∈(0,1)∩(x−1,x).
Passo 3
Isso implica que (f*g)(x)≠0 só para x∈(0,2). Em cada região de x temos limites de integração:
- Se 0<x<1 então t varia de 0 até x.
- Se 1≤x<2 então t varia de x−1 até 1.
Passo 4
Para 0<x<1 calculamos
Vamos avaliar:
Integrando, . Então
Integrando,
Passo 5
Para 1≤x<2 calculamos
Usando a mesma primitiva, obtemos
Passo 6
Fora dessas duas regiões (x≤0 ou x≥2), a convolução vale zero, pois os suportes não se sobrepõem.