Determine a função
tal que sua transformada de Fourier é
.
Passo 1
Enunciado: a transformada de Fourier de uma função
é dada por
. Queremos calcular
. Usamos a convenção
$$F(\omega)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e{-i\omega x}dx,
\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}F(\omega)e{i\omega x}d\omega
\int_{0}{\infty}e{-ax}e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{a+i\omega},\quad a>0$$
o que implica
onde
Passo 2
Escrevemos
já que
Passo 3
Fazemos frações parciais em
Multiplicando em cruz:
Passo 4
Logo
Passo 5
Pela linearidade do inverso de Fourier e o par
, temos