Determine a função f(x) tal que sua transformada de Fourier é F(omega)=1(1+i omega)(4+2 i omega).

Passo 1

Enunciado: a transformada de Fourier de uma função f(x) é dada por F(omega)=1(1+iomega)(4+2iomega). Queremos calcular f(x)=F^-1F(omega)(x). Usamos a convenção
$$F(\omega)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e{-i\omega x}dx,
\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}F(\omega)e{i\omega x}d\omega F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega xdx, f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega xdomegaá\int_{0}{\infty}e{-ax}e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{a+i\omega},\quad a>0$$
o que implica
integral0^inftye^-axe^-iomega xdx=1a+iomega, a>0,
onde F^-1l1a+iomegar(x)=e^-axu(x) é o degrau de Heaviside.

Passo 2

Escrevemos
F(omega)=1(1+iomega)(4+2iomega)=121(1+iomega)(2+iomega)
já que 4+2iomega=2(2+iomega).

Passo 3

Fazemos frações parciais em
1(1+iomega)(2+iomega)=A1+iomega+B2+iomega
Multiplicando em cruz: 1=A(2+iomega)+B(1+iomega). Igualando constantes e coeficiente de omega A=1 e B=-1.

Passo 4

Logo
1(1+iomega)(2+iomega)=11+iomega-12+iomega,\nentão
F(omega)=12l(11+iomega-12+iomegar)

Passo 5

Pela linearidade do inverso de Fourier e o par 1/(a+iomega)to e^-axu(x), temos
f(x)=12l(e^-1,x-e^-2,xr)u(x)

Resposta

f(x)=12l(e^-x-e^-2xr)u(x)

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