Determine os 5 primeiros termos da série de Fourier da função
.
Passo 1
A função dada é f(x)=x/2 em (-1,1) com período T=2, o que corresponde a L=T/2=1. O conteúdo é séries de Fourier em um intervalo simétrico, e como f(x) é ímpar (f(−x)=−f(x)), só teremos termos de seno (a₀=0 e aₙ=0).
Passo 2
O coeficiente geral bₙ para funções de período 2L é dado por
Aqui L=1, então
Passo 3
Como x·sin(nπx) é função par (produto de ímpar por ímpar), podemos usar
Para calcular
, aplicamos integração por partes com u=x e dv=sin(nπx)dx.
Passo 4
Fazendo a integração por partes:
Multiplicando por 2 e pelo fator 1/2, obtemos
Passo 5
Portanto a série de Fourier fica:
Os cinco primeiros termos (n=1…5) são dados por: