Determine os 5 primeiros termos da série de Fourier da função f(x)=x2,-1.

Passo 1

A função dada é f(x)=x/2 em (-1,1) com período T=2, o que corresponde a L=T/2=1. O conteúdo é séries de Fourier em um intervalo simétrico, e como f(x) é ímpar (f(−x)=−f(x)), só teremos termos de seno (a₀=0 e aₙ=0).

Passo 2

O coeficiente geral bₙ para funções de período 2L é dado por
bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Aqui L=1, então
bn=integral-1^1x2sin(npi x),dx =12integral-1^1xsin(npi x),dx

Passo 3

Como x·sin(nπx) é função par (produto de ímpar por ímpar), podemos usar
integral-1^1xsin(npi x),dx=2integral0^1xsin(npi x),dx
Para calcular integral0^1xsin(npi x),dx, aplicamos integração por partes com u=x e dv=sin(nπx)dx.

Passo 4

Fazendo a integração por partes:
integral0^1xsin(npi x),dx =l[-xcos(npi x)npi+sin(npi x)(npi)^2r]0^1 = -cos(npi)npi+0 =-(-1)^nnpi
Multiplicando por 2 e pelo fator 1/2, obtemos
bn=12cdot2l(-(-1)^nnpir)=(-1)^n+11npi

Passo 5

Portanto a série de Fourier fica:
f(x)=sumn=1^inftybnsin(npi x) =sumn=1^infty(-1)^n+11npisin(npi x)
Os cinco primeiros termos (n=1…5) são dados por:

Passo 6

f(x)approx1pisin(pi x) -12pisin(2pi x) +13pisin(3pi x) -14pisin(4pi x) +15pisin(5pi x)

Resposta

f(x)approx1pisin(pi x) -12pisin(2pi x) +13pisin(3pi x) -14pisin(4pi x) +15pisin(5pi x)

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