Use a definição para calcular a transformada de Fourier de
f(x)=cc raiz2 pi x, & 0á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de uma função de suporte em [0,1], usando a definição. O conteúdo é transformada de Fourier e vamos precisar da definição hat f(omega)=tfrac1raiz2piintegral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx e de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, substituímos f(x)=raiz2pi,x em (0,1) na definição. Como fora de (0,1) vale zero, temos
hat f(omega)=1raiz2piintegral0^1raiz2pi,x,e^-iomega x,dx=integral0^1x,e^-iomega x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^1x,e^-iomega x,dx usamos integração por partes. Tomamos
u=x, dv=e^-iomega x,dximplies du=dx, v=e^-iomega x-iomega
Então
integral0^1x e^-iomega xdx=l[xe^-iomega x-iomegar]0^1-integral0^1e^-iomega x-iomega,dx

Passo 4

Resolvendo cada termo: no primeiro colchete dá
-1iomegae^-iomega-0=-e^-iomegaiomega
No segundo, sai
-1-iomegaintegral0^1e^-iomega xdx=1iomegacdote^-iomega-1-iomega=e^-iomega-1omega^2
Somando, obtemos
integral0^1x e^-iomega xdx=e^-iomega-1omega^2-e^-iomegaiomega

Passo 5

Portanto, a transformada de Fourier fica exatamente essa integral, já sem fator extra. Mantendo organizado, podemos também escrever
hat f(omega)=e^-iomega-1omega^2-i,e^-iomegaomega

Resposta

hat f(omega)=e^-iomega-1omega^2-i,e^-iomegaomega

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