(a) Calcule as convoluções f * g e g * f no caso das funções f(t)=t^2 e g(t)=1.
(b) Verifique que f * g=g * f.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as convoluções de duas funções causais, f(t)=t² e g(t)=1, usando o conteúdo de convolução de sinais. Vamos precisar da definição de convolução para funções definidas em t≥0, que é a integral de 0 até t.

Passo 2

A definição de convolução para duas funções causais f e g é
(f * g)(t)= integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Aqui, f(\tau)=\tau² e g(t-\tau)=1, pois g é constante 1.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
(f * g)(t)= integral0^ttau²cdot1,dtau =integral0^ttau²,dtau ²²
Para resolver, usamos a primitiva de \tau², que é \tau³/3. Assim,
(f * g)(t)=l[tau³3r]0^t=t³3 ³³

Passo 4

Agora calculamos (g * f)(t) trocando f e g na definição:
(g * g)(t)=integral0^tg(tau),f(t-tau),dtau =integral0^t1cdot(t-tau)²,dtau ²
Podemos usar substituição u=t-\tau, mas expandir (t-\tau)² funciona também:
integral0^t(t-tau)²,dtau =integral0^t(t²-2ttau+tau²),dtau ²²²
Integrando termo a termo:
=l[t²tau - ttau² + tau³3r]0^t = t³ - t³ + t³3=t³3 ²²³³³³³

Passo 5

Comparando, vimos que ambas convoluções dão o mesmo resultado, logo f * g = g * f, confirmando a propriedade comutativa da convolução para essas funções.

Resposta

(f * g)(t)=\frac{t³}{3} e (g * f)(t)=\frac{t³}{3}, portanto f * g = g * f.

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