(a) Calcule as convoluções
e
no caso das funções
e
.
(b) Verifique que
.
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular as convoluções de duas funções causais, f(t)=t² e g(t)=1, usando o conteúdo de convolução de sinais. Vamos precisar da definição de convolução para funções definidas em t≥0, que é a integral de 0 até t.
Passo 2
A definição de convolução para duas funções causais f e g é
Aqui, f(\tau)=\tau² e g(t-\tau)=1, pois g é constante 1.
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Para resolver, usamos a primitiva de \tau², que é \tau³/3. Assim,
Passo 4
Agora calculamos (g * f)(t) trocando f e g na definição:
Podemos usar substituição u=t-\tau, mas expandir (t-\tau)² funciona também:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Comparando, vimos que ambas convoluções dão o mesmo resultado, logo f * g = g * f, confirmando a propriedade comutativa da convolução para essas funções.
Resposta
(f * g)(t)=\frac{t³}{3} e (g * f)(t)=\frac{t³}{3}, portanto f * g = g * f.