Calcule por coodenadas polares a integral dupla integral duplaR xraizx+y d A, onde R é a região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR dfracxraizx+y,dA, onde R é a parte do primeiro quadrante limitada por x^2+y^2=1 e pelos eixos. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a região R fica com thetain[0,tfracpi2] e rin[0,1]. Substituindo no integrando:
x= rcostheta, x+y=r(costheta+sintheta), dA= r,dr,dtheta

Passo 3

Logo a integral fica
I=integral0^pi/2integral0^1 rcosthetaraizr(costheta+sintheta),r,dr,dtheta

Passo 4

Simplificando o integrando:
rcosthetacdot rraizrraizcostheta+sintheta=r^3/2,costhetaraizcostheta+sintheta

Passo 5

Podemos separar a parte em r da parte em theta:
I=l(integral0^1r^3/2,drr);l(integral0^pi/2costhetaraizcostheta+sintheta,dthetar)

Passo 6

Calculando a integral em r:
integral0^1r^3/2,dr=[r^5/25/2]0^1=25

Passo 7

Para a integral em theta, fazemos a substituição alpha=theta-tfracpi4. Isso leva a
integral0^pi/2costhetaraizcostheta+sintheta,dtheta =2^1/4integral0^pi/4raizcosalpha,dalpha

Passo 8

Portanto a integral total vale
I=25;2^1/4integral0^pi/4raizcosalpha,dalpha =2^5/45integral0^pi/4raizcosalpha,dalpha

Resposta

I=\displaystyle \frac{2{5/4}}{5}\int_{0}{\pi/4}\sqrt{\cos\alpha},d\alpha

Exercícios relacionados