Calcule por coodenadas polares a integral dupla
, onde
é a região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a parte do primeiro quadrante limitada por
e pelos eixos. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares, a região
fica com
e
. Substituindo no integrando:
Passo 3
Logo a integral fica
Passo 4
Simplificando o integrando:
Passo 5
Podemos separar a parte em
da parte em
:
Passo 6
Calculando a integral em
:
Passo 7
Para a integral em
, fazemos a substituição
. Isso leva a
Passo 8
Portanto a integral total vale
Resposta
I=\displaystyle \frac{2{5/4}}{5}\int_{0}{\pi/4}\sqrt{\cos\alpha},d\alpha