Se
e
e
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três equações:
- $ z = e^{x - y} $
- $ x = r^{2} + s^{2} $
- $ y = 2rs $
A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar $ z $ em relação a $ r $ duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como $ z $ depende de $ r $. Sabemos que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ r $ e $ s $. Então, para derivar $ z $ em relação a $ r $, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial r} $.
Primeiro, derivamos $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Agora, derivamos $ x $ e $ y $ em relação a $ r $:
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} $.
Isso significa que vamos derivar novamente $ \frac{\partial z}{\partial r} $ em relação a $ r $.
Primeiro, identifiquemos os componentes que dependem de $ r $ na expressão $ e^{x - y} (2r - 2s) $:
- $ e^{x - y} $ depende de $ x $ e $ y $, que dependem de $ r $.
- $ (2r - 2s) $ já está explícita em termos de $ r $.
Então, aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte: $ \frac{\partial e^{x - y}}{\partial r} $
Aplicamos a regra da cadeia novamente:
Segunda parte: $ \frac{\partial (2r - 2s)}{\partial r} $
Agora, substituímos de volta na equação da Passo 4:
Resposta
A segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $ é: