Se z=e^x-y e x=r^2+s^2 e y=2 r s, calcule partial^2 zpartial r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três equações:
  • $ z = e^{x - y} $
  • $ x = r^{2} + s^{2} $
  • $ y = 2rs $
A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar $ z $ em relação a $ r $ duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como $ z $ depende de $ r $. Sabemos que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ r $ e $ s $. Então, para derivar $ z $ em relação a $ r $, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial r} $.
Primeiro, derivamos $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
z
r
Agora, derivamos $ x $ e $ y $ em relação a $ r $:
partial zpartial r
z
Aplicando a regra da cadeia:
x
Substituindo as derivadas que encontramos:
y
partial zpartial x = e^x - y
partial zpartial y = -e^x - y

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} $.
Isso significa que vamos derivar novamente $ \frac{\partial z}{\partial r} $ em relação a $ r $.
Primeiro, identifiquemos os componentes que dependem de $ r $ na expressão $ e^{x - y} (2r - 2s) $:
  • $ e^{x - y} $ depende de $ x $ e $ y $, que dependem de $ r $.
  • $ (2r - 2s) $ já está explícita em termos de $ r $.
Então, aplicamos a regra do produto:
z
r

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte: $ \frac{\partial e^{x - y}}{\partial r} $
Aplicamos a regra da cadeia novamente:
partial e^x - ypartial r
partial e^x - ypartial r = e^x - y cdot ( partial xpartial r - partial ypartial r )
Segunda parte: $ \frac{\partial (2r - 2s)}{\partial r} $
= e^x - y cdot (2r - 2s)
Agora, substituímos de volta na equação da Passo 4:
partial (2r - 2s)partial r
partial (2r - 2s)partial r = 2
partial^2 zpartial r^2 = e^x - y (2r - 2s) cdot (2r - 2s) + e^x - y cdot 2

Resposta

A segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ r $ é:
z

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