Calcule por coordenadas polares a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é o anel definido por
. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano
e sabendo integrar expressões do tipo
.
Passo 2
Substituímos
e
. Assim,
, e o elemento de área fica
.
O integrando fica . Os limites em
vão de 1 a 3 e em
vão de 0 a
. Logo
O integrando fica
Passo 3
Para usar a fórmula de Bessel, note que
. Fazendo a mudança
, o período continua
, e usamos
Passo 4
onde
é a função de Bessel modificada de primeira espécie. Assim
Passo 5
Ficamos com
Passo 6
Para integrar em
, usamos o fato
Passo 7
onde
é a função de Bessel modificada de ordem 1. Assim
Passo 8
Aplicando com
de
a
, obtemos