Calcule por coordenadas polares a integral dupla integral duplaR e^x+y d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^x+y,dA, onde a região R é o anel definido por 1<= x^2+y^2<=9. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano r e sabendo integrar expressões do tipo e^acostheta.

Passo 2

Substituímos x=rcostheta e y=rsintheta. Assim, x^2+y^2=r^2, e o elemento de área fica dA=r,dr,dtheta.
O integrando fica e^x+y=e^r(costheta+sintheta). Os limites em r vão de 1 a 3 e em theta vão de 0 a 2pi. Logo
integral duplaR e^x+y,dA=integral0^2pi!integral1^3e^r(costheta+sintheta),r,dr,dtheta

Passo 3

Para usar a fórmula de Bessel, note que costheta+sintheta=raiz2cos(theta-pi/4). Fazendo a mudança alpha=theta-pi/4, o período continua 2pi, e usamos
integral0^2pie^acosalpha,dalpha=2pi I0(a),

Passo 4

onde I0 é a função de Bessel modificada de primeira espécie. Assim
integral0^2pie^r(costheta+sintheta),dtheta=2pi I0(raiz2,r)

Passo 5

Ficamos com
integral duplaR e^x+y,dA=2piintegral1^3r,I0(raiz2,r),dr

Passo 6

Para integrar em r, usamos o fato
ddrl(rI1(a r)r)=a,rI0(a r),

Passo 7

onde I1 é a função de Bessel modificada de ordem 1. Assim
integral rI0(a r),dr=1a,rI1(a r)+C

Passo 8

Aplicando com a=raiz2 de r=1 a r=3, obtemos
2piintegral1^3rI0(raiz2r),dr=2pi1raiz2l[rI1(raiz2r)r]1^3

Resposta

integral duplaRe^x+y,dA=2piraiz2l[3I1(3raiz2)-I1(raiz2)r]=raiz2,pil[3I1(3raiz2)-I1(raiz2)r]

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