Determine o gradiente da função z=x^2+x y^2

Passo 1

Então, temos a função $ z = x^{2} + x y^{2} $ e precisamos encontrar o gradiente dessa função. O gradiente é um vetor que mostra as direções de maior aumento da função. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e a $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
A função é $ z = x^{2} + x y^{2} $.
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
  • A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ x $ é $ y^{2} $ (já que $ y $ é tratado como uma constante na derivada parcial).
Então, $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{2} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
A função é $ z = x^{2} + x y^{2} $.
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 0 $ (já que $ x $ é tratado como uma constante).
  • A derivada de $ x y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2x y $.
Então, $ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 + 2x y = 2x y $.

Resposta

O gradiente da função $ z = x^{2} + x y^{2} $ é dado por:
z = x^2 + x y^2

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