Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas três esferas da tabela.
esfera m(\mathrm{~kg}) x(\mathrm{~m}) y(\mathrm{~m})
1 20 0.5 1
2 40 -1 1
3 60 0 -0.5

Passo 1

O enunciado pede: calcular as coordenadas do centro de massa do sistema formado por três esferas.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c} \text{esfera} & m\;(\mathrm{kg}) & x\;(\mathrm{m}) & y\;(\mathrm{m})\\hline 1 & 20 & 0,5 & 1\\\\ 2 & 40 & -1 & 1\\\\ 3 & 60 & 0 & -0,5 \end{array}
Pergunta explícita: encontrar as coordenadas (x_{\text{cm}},y_{\text{cm}}) do centro de massa do sistema.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): para um conjunto finito de massas pontuais a coordenada do centro de massa é a média ponderada das posições, ponderada pelas massas. As fórmulas são
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i}
y_{\text{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i y_i}{\sum_{i} m_i}
Aqui m_i é a massa da i-ésima esfera, x_i e y_i são as coordenadas dessa esfera. O numerador soma todos os momentos (massa vezes posição) e o denominador é a massa total. Intuição: massas maiores “puxam” mais o centro de massa para perto delas.

Passo 3

Calcular a massa total \sum_i m_i. Usando os dados da tabela:
\sum_i m_i = m_1+m_2+m_3 = 20+40+60
Fazendo a soma:
\sum_i m_i = 120\\ \mathrm{kg}

Passo 4

Calcular o numerador para x_{\text{cm}}, isto é \sum_i m_i x_i. Usando os dados:
\sum_i m_i x_i = 20\cdot 0,5 + 40\cdot(-1) + 60\cdot 0
Calcule cada termo:
20\cdot 0,5 = 10,\qquad 40\cdot(-1)=-40,\qquad 60\cdot 0=0
Somando:
\sum_i m_i x_i = 10-40+0 = -30
Agora aplicamos a fórmula:
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}=\frac{-30}{120}
Simplificando a fração:
\frac{-30}{120}=-\frac{1}{4}=-0,25
Portanto x_{\text{cm}}=-0,25\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o numerador para y_{\text{cm}}, isto é \sum_i m_i y_i. Usando os dados:
\sum_i m_i y_i = 20\cdot 1 + 40\cdot 1 + 60\cdot(-0,5)
Calcule cada termo:
20\cdot 1 = 20,\qquad 40\cdot 1=40,\qquad 60\cdot(-0,5)=-30
Somando:
\sum_i m_i y_i = 20+40-30 = 30
Agora aplicamos a fórmula:
y_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}=\frac{30}{120}
Simplificando:
\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0,25
Portanto y_{\text{cm}}=0,25\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: o centro de massa ficou em (x_{\text{cm}},y_{\text{cm}})=(-0,25,\;0,25)\\ \mathrm{m}. Em prova, calcule primeiro a massa total e depois os dois momentos separadamente; mantenha a vírgula decimal consistente (aqui usei vírgula) e simplifique frações antes de transformar em decimal para evitar erros.

Resposta

x_{\text{cm}}=-0,25\\ \mathrm{m}
y_{\text{cm}}=0,25\\ \mathrm{m}

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