Um violão possui uma corda de comprimento L, densidade linear D e encontra-se tracionada como uma tração T. (a) Encontre as 4 maiores frequências de ondas estacionárias emitidas por esta corda, em função das variáveis \mathrm{L}, \mathrm{D} e T . (b) Discuta qualitativamente os efeitos nas frequências emitidas, em caso de mudança no comprimento, densidade ou tração da corda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
  • Comprimento da corda: L.
  • Densidade linear (massa por comprimento) da corda: D.
  • Tração (tensão) aplicada na corda: T.
  • A corda está presa nas extremidades (implícito para um violão: as duas extremidades são nós fixos).
Perguntas do enunciado:
  • (a) Encontre as 4 maiores frequências de ondas estacionárias emitidas por esta corda, expressas em função de L, D e T.
  • (b) Discuta qualitativamente como as frequências mudam se alterarmos L, D ou T.
Observação: a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Entender o movimento longitudinal e transversal básico e a velocidade de propagação de ondas na corda. Vou derivar, de forma direta e didática, a fórmula para a velocidade de ondas transversais numa corda tensionada.
Considere um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x e massa \Delta m. A densidade linear é D, logo a massa do trecho é
\Delta m = D\,\Delta x.
A tração na corda é T. Se a corda estiver deformada e a inclinação for pequena, as forças transversais resultantes sobre o trecho podem ser aproximadas por T vezes a segunda derivada espacial da deflexão. Aplicando a segunda lei de Newton para o deslocamento transversal y(x,t) do trecho obtemos (de forma resumida):
D\,\Delta x\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\approx T\,\Delta x\;\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.
Cancelando \Delta x e rearranjando aparece a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2},
onde v é a velocidade de propagação dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Explicação dos símbolos: v é a velocidade das ondas transversais; T é a tensão (força) na corda; D é a massa por unidade de comprimento. A raiz aparece porque aceleração \sim força/masa, e a força resultante escala com T enquanto a massa com D.

Passo 3

Condições de contorno e formas das ondas estacionárias. Para uma corda presa nas duas extremidades (em x=0 e x=L) as soluções estacionárias (modos normais) têm nós nas extremidades, ou seja,
y(0,t)=0,\qquad y(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
As formas espaciais permitidas para modos estacionários são senos com comprimentos de onda que encaixam um número inteiro de meio-ondas ao longo do comprimento L. Isso leva às seguintes possibilidades para o comprimento de onda \lambda:
\lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad n=1,2,3,\dots
Explicação intuitiva: um modo com n (número inteiro) metades de onda ao longo de L significa que L = n(\lambda/2), daí \lambda = 2L/n.

Passo 4

Relação entre comprimento de onda, velocidade e frequência. A frequência f de uma onda se relaciona com sua velocidade v e seu comprimento de onda \lambda por
f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo v=\sqrt{T/D} (Passo 2) e \lambda_n=2L/n (Passo 3) obtemos as frequências naturais (harmônicos) da corda:
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{1}{\lambda_n}\sqrt{\dfrac{T}{D}}=\frac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}},\qquad n=1,2,3,\dots
Aqui n indica o número do harmônico: n=1 é o modo fundamental, n=2 é o primeiro harmônico (segunda frequência), e assim por diante.

Passo 5

Escrever explicitamente as quatro maiores frequências (interpreto aqui como os quatro primeiros modos naturais, que são as quatro primeiras maiores frequências discretas presentes: n=1,2,3,4). Usando a fórmula do Passo 4:
Para n=1:
f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Para n=2:
f_2=\frac{2}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}=\frac{1}{L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Para n=3:
f_3=\frac{3}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Para n=4:
f_4=\frac{4}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}=\frac{2}{L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Observação prática: as frequências estão em razão inteira 1:2:3:4 quando comparadas entre si, porque f_n\propto n.

Passo 6

Discussão qualitativa dos efeitos de L, D e T sobre as frequências (resposta do item (b)), com exemplos numéricos simples para intuição.
Dependência funcional das frequências:
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
Efeitos:
  • Variação de L: f_n é inversamente proporcional a L. Se você dobrar o comprimento ( L\to 2L), cada frequência fica pela metade ( f_n\to f_n/2). Intuição: corda mais longa permite ondas com maior \lambda, logo menor frequência.
  • Variação de D: f_n é proporcional a 1/\sqrt{D}. Se a densidade linear quadruplicar ( D\to 4D), f_n cairá pela metade ( f_n\to f_n/2). Intuição: corda mais pesada por unidade de comprimento tem mais inércia e vibra mais devagar.
  • Variação de T: f_n é proporcional a \sqrt{T}. Se a tensão for quadruplicada ( T\to 4T), f_n dobrará ( f_n\to 2f_n). Intuição: maior tensão “puxa” a corda com mais força, ondas se propagam mais rápido e a frequência sobe.
Observação adicional: alterar qualquer um desses parâmetros escala todas as harmônicas da mesma forma — ou seja, a razão entre f_2 e f_1, entre f_3 e f_1, etc., permanece 2,3,\dots — a estrutura harmônica permanece (mudam só as frequências absolutas).

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • Se T é dobrada ( T\to 2T), cada frequência multiplica por \sqrt{2}.
  • Se D é dividida por 4 ( D\to D/4), cada frequência dobra.
  • Se L é multiplicado por 3 ( L\to 3L), cada frequência é reduzida para um terço.
Esses exemplos mostram relações simples úteis na prova: mudanças multiplicativas em T,D,L traduzem-se em mudanças por potências +\tfrac12 ou -1 sobre as frequências.

Resposta

(a) f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}},\qquad f_2=\frac{2}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}=\frac{1}{L}\sqrt{\dfrac{T}{D}},\qquad f_3=\frac{3}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}},\qquad f_4=\frac{4}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}=\frac{2}{L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}.
(b) A dependência é f_n\propto \dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{T}{D}}. Logo aumentar L diminui as frequências (inversamente proporcional a L); aumentar D diminui as frequências (proporcional a 1/\sqrt{D}); aumentar T aumenta as frequências (proporcional a \sqrt{T}).

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