Um violão possui uma corda de comprimento
, densidade linear D e encontra-se tracionada como uma tração T. (a) Encontre as 4 maiores frequências de ondas estacionárias emitidas por esta corda, em função das variáveis
e T . (b) Discuta qualitativamente os efeitos nas frequências emitidas, em caso de mudança no comprimento, densidade ou tração da corda.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
- Comprimento da corda:
. - Densidade linear (massa por comprimento) da corda:
. - Tração (tensão) aplicada na corda:
. - A corda está presa nas extremidades (implícito para um violão: as duas extremidades são nós fixos).
Perguntas do enunciado:
- (a) Encontre as 4 maiores frequências de ondas estacionárias emitidas por esta corda, expressas em função de
, e . - (b) Discuta qualitativamente como as frequências mudam se alterarmos
, ou .
Observação: a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Entender o movimento longitudinal e transversal básico e a velocidade de propagação de ondas na corda. Vou derivar, de forma direta e didática, a fórmula para a velocidade de ondas transversais numa corda tensionada.
Considere um pequeno trecho da corda de comprimento
e massa
. A densidade linear é
, logo a massa do trecho é
A tração na corda é
. Se a corda estiver deformada e a inclinação for pequena, as forças transversais resultantes sobre o trecho podem ser aproximadas por
vezes a segunda derivada espacial da deflexão. Aplicando a segunda lei de Newton para o deslocamento transversal
do trecho obtemos (de forma resumida):
Cancelando
e rearranjando aparece a equação de onda unidimensional
onde
é a velocidade de propagação dada por
Explicação dos símbolos:
é a velocidade das ondas transversais;
é a tensão (força) na corda;
é a massa por unidade de comprimento. A raiz aparece porque aceleração
força/masa, e a força resultante escala com
enquanto a massa com
.
Passo 3
Condições de contorno e formas das ondas estacionárias. Para uma corda presa nas duas extremidades (em
e
) as soluções estacionárias (modos normais) têm nós nas extremidades, ou seja,
As formas espaciais permitidas para modos estacionários são senos com comprimentos de onda que encaixam um número inteiro de meio-ondas ao longo do comprimento
. Isso leva às seguintes possibilidades para o comprimento de onda
:
Explicação intuitiva: um modo com
(número inteiro) metades de onda ao longo de
significa que
, daí
.
Passo 4
Relação entre comprimento de onda, velocidade e frequência. A frequência
de uma onda se relaciona com sua velocidade
e seu comprimento de onda
por
Substituindo
(Passo 2) e
(Passo 3) obtemos as frequências naturais (harmônicos) da corda:
Aqui
indica o número do harmônico:
é o modo fundamental,
é o primeiro harmônico (segunda frequência), e assim por diante.
Passo 5
Escrever explicitamente as quatro maiores frequências (interpreto aqui como os quatro primeiros modos naturais, que são as quatro primeiras maiores frequências discretas presentes:
). Usando a fórmula do Passo 4:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observação prática: as frequências estão em razão inteira
quando comparadas entre si, porque
.
Passo 6
Discussão qualitativa dos efeitos de
,
e
sobre as frequências (resposta do item (b)), com exemplos numéricos simples para intuição.
Dependência funcional das frequências:
Efeitos:
- Variação de
: é inversamente proporcional a . Se você dobrar o comprimento ( ), cada frequência fica pela metade ( ). Intuição: corda mais longa permite ondas com maior , logo menor frequência. - Variação de
: é proporcional a . Se a densidade linear quadruplicar ( ), cairá pela metade ( ). Intuição: corda mais pesada por unidade de comprimento tem mais inércia e vibra mais devagar. - Variação de
: é proporcional a . Se a tensão for quadruplicada ( ), dobrará ( ). Intuição: maior tensão “puxa” a corda com mais força, ondas se propagam mais rápido e a frequência sobe.
Observação adicional: alterar qualquer um desses parâmetros escala todas as harmônicas da mesma forma — ou seja, a razão entre
e
, entre
e
, etc., permanece
— a estrutura harmônica permanece (mudam só as frequências absolutas).
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
- Se
é dobrada ( ), cada frequência multiplica por . - Se
é dividida por 4 ( ), cada frequência dobra. - Se
é multiplicado por ( ), cada frequência é reduzida para um terço.
Esses exemplos mostram relações simples úteis na prova: mudanças multiplicativas em
traduzem-se em mudanças por potências
ou
sobre as frequências.
Resposta
(a)
(b) A dependência é
. Logo aumentar
diminui as frequências (inversamente proporcional a
); aumentar
diminui as frequências (proporcional a
); aumentar
aumenta as frequências (proporcional a
).