Um certo alto-falante produz um som com frequência de 2000 Hz e uma intensidade de 0,960 \mathrm{~mW} / \mathrm{m}^{2} à distância de 6,1 \mathrm{~m}. Supondo que não há reflexões e que ele emite igualmente em todas as direções, determine: (a) Qual a intensidade a 30,0 \mathrm{~m} do alto-falante?(b) Qual o nível de som (em dB) a 6,1 \mathrm{~m} e a 30 m ? (c)Qual a amplitude de deslocamento a 6,1 \mathrm{~m} e a 30,0 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.\n
Dados fornecidos:
\text{frequência: } f=2000\\ \mathrm{Hz}ê
\text{intensidade a }6,1\\ \mathrm{m}:\\ I_1=0,960\\ \mathrm{mW/m^{2}}=0,960\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}
\text{distâncias: } r_1=6,1\\ \mathrm{m}\quad\text{e}\quad r_2=30,0\\ \mathrm{m}â
\text{suposições: sem reflexões e emissão isotrópica (mesma potência em todas as direções)}çõõãóêçõ
Perguntas:
(a) Qual a intensidade a 30,0\\ \mathrm{m} do alto-falante? \n
(b) Qual o nível de som (em dB) a 6,1\\ \mathrm{m} e a 30,0\\ \mathrm{m}? \n
(c) Qual a amplitude de deslocamento (amplitude de vibração das partículas do ar) a 6,1\\ \mathrm{m} e a 30,0\\ \mathrm{m}?\n

Passo 2

Entendendo como varia a intensidade com a distância (para aplicar em (a)).\n
Quando uma fonte emite potência total P igualmente em todas as direções (fonte pontual isotrópica), a potência atravessa uma esfera de raio r cuja área é 4\pi r^{2}. A intensidade média na superfície dessa esfera é a potência por unidade de área:
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Como P é constante para a fonte, a intensidade decai com o inverso do quadrado da distância. Assim, para duas distâncias r_1 e r_2,
\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2},
ou seja
I_2 = I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2}.
Esta é a fórmula que vamos usar para (a). Expliquei cada variável: I_1 intensidade conhecida na distância r_1, I_2 intensidade procurada na distância r_2.

Passo 3

Cálculo da intensidade a 30,0\\ \mathrm{m} usando a fórmula de decaimento esférico.\n
Dados numéricos convertidos para unidades SI:
I_1=0,960\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}},\quad r_1=6,1\\ \mathrm{m},\quad r_2=30,0\\ \mathrm{m}.
Aplicando
I_2 = I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2} = 0,960\times10^{-3}\left(\frac{6,1}{30,0}\right)^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Calculemos o quociente:
\frac{6,1}{30,0}=0,203333\ldots
\left(\frac{6,1}{30,0}\right)^{2}=0,041344\ldots
Agora multiplicando:
I_2=0,960\times10^{-3}\times0,041344\ldots \approx 3,97\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Podemos também expressar em \mathrm{mW/m^{2}}:
I_2\approx0,0397\\ \mathrm{mW/m^{2}}.

Passo 4

Entendendo o nível de som em decibéis (parte (b)).\n
Definição: o nível de intensidade sonora (nível de som) em decibéis é
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I é a intensidade em \mathrm{W/m^{2}} e I_0 é a intensidade de referência adotada no ouvido humano:
I_0 = 1\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Aqui cada símbolo: \beta em decibéis (dB), I intensidade medida, I_0 intensidade referência. Vou aplicar essa fórmula para I_1 e para I_2.

Passo 5

Cálculo dos níveis sonoros a 6,1\\ \mathrm{m} e 30,0\\ \mathrm{m}.\n
Para r_1=6,1\\ \mathrm{m}:
\beta_1 = 10\log_{10}\!\left(\frac{0,960\times10^{-3}}{1\times10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(0,960\times10^{9}\right).
Calculemos:
0,960\times10^{9}=9,60\times10^{8},\quad \log_{10}(9,60\times10^{8})=\log_{10}(9,60)+8\approx0,9823+8=8,9823.
\beta_1 \approx 10\times8,9823=89,8\\ \mathrm{dB}.
Para r_2=30,0\\ \mathrm{m} usamos I_2 encontrado:
\beta_2 = 10\log_{10}\!\left(\frac{3,97\times10^{-5}}{1\times10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(3,97\times10^{7}\right).
\log_{10}(3,97\times10^{7})=\log_{10}(3,97)+7\approx0,5990+7=7,5990,
\beta_2 \approx 10\times7,5990=76,0\\ \mathrm{dB}.
Como check rápido: a diferença \beta_1-\beta_2 deve ser 20\log_{10}(r_2/r_1). Calculando 20\log_{10}(30,0/6,1)\approx13,8\\ \mathrm{dB}, e 89,8-76,0=13,8\\ \mathrm{dB}. Consistente.

Passo 6

Entendendo a amplitude de deslocamento e a relação com a intensidade (parte (c)).\n
Numa onda sonora progressiva (aproximação de onda plana localmente), as grandezas relevantes são:\n
  • amplitude de deslocamento das partículas do meio: s_m (em metros), que é o que se pede;\n
  • pressão máxima (amplitude de pressão): p_m (em pascals);\n
  • densidade do ar: \rho (em \mathrm{kg/m^{3}});\n
  • velocidade do som no ar: c (em \mathrm{m/s});\n
  • frequência angular: \omega=2\pi f (em \mathrm{rad/s}).\n
    Relações úteis (para onda harmônica):\n
  1. relação entre p_m e s_m:
p_m=\rho c\,\omega\, s_m.
Aqui \rho c é a impedância acústica do ar; \omega=2\pi f.\n
2) relação entre intensidade média I e amplitude de pressão p_m:
I=\frac{p_m^{2}}{2\rho c}.
Substituindo p_m da primeira equação obtemos:
I=\frac{(\rho c\,\omega\, s_m)^{2}}{2\rho c}=\frac{1}{2}\rho c\,\omega^{2}s_m^{2}.
Desse resultado isolamos s_m:
s_m = \sqrt{\frac{2I}{\rho c\,\omega^{2}}}.
Expliquei cada símbolo: I intensidade (W/m²), \rho densidade do ar (kg/m³), c velocidade do som (m/s), \omega=2\pi f (rad/s), s_m amplitude de deslocamento (m).

Passo 7

Valores numéricos e cálculo das amplitudes (uso de propriedades do ar padrão).\n
Vamos usar valores típicos do ar à temperatura ambiente:
\rho=1,21\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c=343\\ \mathrm{m/s}.
E a frequência já dada:
f=2000\\ \mathrm{Hz}\quad\Rightarrow\quad \omega=2\pi f=4000\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx12566,37\\ \mathrm{rad/s}.
Agora aplicamos a fórmula
s_m=\sqrt{\frac{2I}{\rho c\,\omega^{2}}}.
Para r_1=6,1\\ \mathrm{m} com I_1=0,960\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
s_{m1}=\sqrt{\frac{2\times0,960\times10^{-3}}{(1,21)(343)(12566,37)^{2}}} \approx1,71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Para r_2=30,0\\ \mathrm{m} com I_2=3,97\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
s_{m2}=\sqrt{\frac{2\times3,97\times10^{-5}}{(1,21)(343)(12566,37)^{2}}} \approx3,48\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Observação rápida: s_m escala como \sqrt{I}, então a razão entre as amplitudes é \sqrt{I_2/I_1}=\sqrt{(r_1/r_2)^2}=r_1/r_2\approx0,2033, o que se confirma numericamente ( 1,71\times10^{-7}\times0,2033\approx3,48\times10^{-8}).

Resposta

(a) I(30,0\\ \mathrm{m})\approx 3,97\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^{2}} \n
(b) \beta(6,1\\ \mathrm{m})\approx 89,8\\ \mathrm{dB}\n
\beta(30,0\\ \mathrm{m})\approx 76,0\\ \mathrm{dB}\n
(c) s_{m}(6,1\\ \mathrm{m})\approx 1,71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\n
s_{m}(30,0\\ \mathrm{m})\approx 3,48\times10^{-8}\\ \mathrm{m}

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