Calcule por coordenadas polares a integral dupla
, onde
é a região do Primeiro quadrante, limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando coordenadas polares. A região
que estamos integrando está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados (os eixos
e
). Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que o raio faz com o eixo .
As relações de conversão são:
Aqui,
representa o elemento de área em coordenadas polares, que é
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar na forma polar. A função dada é
. Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Então, a função simplifica para
.
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para
e
. A região
está no primeiro quadrante, limitado pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
- Para
, como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de a radianos. - Para
, a distância do ponto à origem vai de até a circunferência .
Portanto, os limites são:
Passo 5
Com tudo isso, vamos montar a integral em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
por
e a função por
.
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.