Calcule por coordenadas polares a integral dupla integral dupla xraizx^2+y^2 d A, onde R é a região do Primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral dupla xraizx^2+y^2 , dA usando coordenadas polares. A região R que estamos integrando está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados (os eixos x e y). Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (r, theta), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo que o raio r faz com o eixo x.
As relações de conversão são:
x = r cos theta
y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
Aqui, dA representa o elemento de área em coordenadas polares, que é r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar na forma polar. A função dada é xraizx^2+y^2. Substituindo x e y por suas expressões em coordenadas polares:
xraizx^2+y^2 = r cos thetaraizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r cos thetaraizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r cos thetaraizr^2 = r cos thetar = cos theta
Então, a função simplifica para cos theta.

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para r e theta. A região R está no primeiro quadrante, limitado pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados.
  • Para theta, como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de 0 a pi2 radianos.
  • Para r, a distância do ponto à origem vai de 0 até a circunferência r = 1.
Portanto, os limites são:
0 <= theta <= pi2
0 <= r <= 1

Passo 5

Com tudo isso, vamos montar a integral em coordenadas polares:
integral dupla xraizx^2+y^2 , dA = integral0^pi2 integral0^1 cos theta cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos dA por r , dr , dtheta e a função por cos theta.

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a r:
integral0^1 cos theta cdot r , dr = cos theta integral0^1 r , dr = cos theta [ r^22 ]0^1 = cos theta ( 12 - 0 ) = cos theta2

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi2 cos theta2 , dtheta = 12 integral0^pi2 cos theta , dtheta = 12 [ sin theta ]0^pi2 = 12 ( sin pi2 - sin 0 ) = 12 (1 - 0) = 12

Resposta

A integral dupla vale 12.

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