Calcule a integral de linha integralC y^2 d x+x d y onde C é a curva parametrizada por x=t^2 e y=t, com 1 <= t <= 2. Calcule a integral de linha usando:
A parametrização de C.

Passo 1

Resumo do enunciado: Calcular a integral de linha integralC y^2,dx + x,dy ao longo da curva parametrizada por x=t^2, y=t, para t de 1 a 2. O conteúdo é integral de linha de forma diferencial e vamos precisar expressar dx e dy em função de t.

Passo 2

Determinar dx e dy em termos de t.
dx = 2t,dt, dy = dt

Passo 3

Substituir na integral e montar o integrando em t. Dado que y=t e x=t^2, temos
y^2,dx + x,dy = t^2cdot(2t,dt) + t^2cdot dt = (2t^3 + t^2),dt

Passo 4

A integral se torna
integralC y^2,dx + x,dy = integral1^2 (2t^3 + t^2),dt

Passo 5

Calcular a antiderivada e avaliar entre 1 e 2.
Antiderivada:
F(t) = integral(2t^3 + t^2),dt = t^42 + t^33
Avaliação:
F(2)-F(1) = l(2^42 + 2^33r) - l(1^42 + 1^33r) = 596

Resposta

596

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