Determine:
A equação da circunferência, para que a circunferência x^2+y^2=r^2 seja tangente à reta s : y=x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Geometria Analítica. O objetivo é encontrar a equação de uma circunferência que é tangente a uma reta específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta, e depois igualar essa distância ao raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da circunferência que já nos foi dada: $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Essa é a equação padrão de uma circunferência com centro na origem x^2 + y^2 = r^2 e raio $ r $.

Passo 3

Agora, temos a reta $ s $: $ y = x + 4 $. Para encontrar a distância entre o centro da circunferência s e essa reta, podemos usar a fórmula da distância ponto-reta. A fórmula geral para a distância $ d $ de um ponto y = x + 4 à reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
(0,0)

Passo 4

Vamos expressar a equação da reta na forma geral $ Ax + By + C = 0 $. A reta dada é $ y = x + 4 $, que pode ser reescrita como $ x - y + 4 = 0 $. Então, temos:
  • $ A = 1 $
  • $ B = -1 $
  • $ C = 4 $

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da distância, com o ponto (0,0):
d = |1 cdot 0 + (-1) cdot 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 = 4raiz2 = 4raiz22 = 2raiz2

Passo 6

Como a circunferência é tangente à reta, a distância $ d $ entre o centro e a reta é igual ao raio $ r $. Então:
d

Resposta

A equação da circunferência é $ x^{2} + y^{2} = 8 $.

Exercícios relacionados