Determine:
A equação da circunferência, para que a circunferência
seja tangente à reta
:
A equação da circunferência, para que a circunferência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Geometria Analítica. O objetivo é encontrar a equação de uma circunferência que é tangente a uma reta específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta, e depois igualar essa distância ao raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da circunferência que já nos foi dada: $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Essa é a equação padrão de uma circunferência com centro na origem
e raio $ r $.
Passo 3
Agora, temos a reta $ s $: $ y = x + 4 $. Para encontrar a distância entre o centro da circunferência
e essa reta, podemos usar a fórmula da distância ponto-reta. A fórmula geral para a distância $ d $ de um ponto
à reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
Passo 4
Vamos expressar a equação da reta na forma geral $ Ax + By + C = 0 $. A reta dada é $ y = x + 4 $, que pode ser reescrita como $ x - y + 4 = 0 $. Então, temos:
- $ A = 1 $
- $ B = -1 $
- $ C = 4 $
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da distância, com o ponto
:
Passo 6
Como a circunferência é tangente à reta, a distância $ d $ entre o centro e a reta é igual ao raio $ r $. Então:
Resposta
A equação da circunferência é $ x^{2} + y^{2} = 8 $.