Utilizando o Teorema de Fubini, calcule
onde
é a região retangular com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o Teorema de Fubini. O enunciado pede para calcular:
Onde $ A $ é uma região retangular com vértices em
,
,
e
. Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, primeiro integrando em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ A $. É um retângulo onde $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de 0 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como iterada:
Isso significa que vamos integrar a função
primeiro em relação a
de 0 a 1 e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 3
Vamos integrar a função
em relação a
:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
, porque
é tratado como uma constante. Então temos:
Então, após a primeira integração, a expressão fica
.
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de 0 a 2:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Resposta
O valor da integral dupla é 12.