Utilizando o Teorema de Fubini, calcule
integral duplaA(2 x+5 y) d x d y onde A é a região retangular com vértices (0,0),(1,0),(1,2) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o Teorema de Fubini. O enunciado pede para calcular:
integral duplaA(2 x + 5 y) , dx , dy
Onde $ A $ é uma região retangular com vértices em A , (0,0), (1,0) e (1,2). Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, primeiro integrando em relação a (0,2) e depois em relação a x, ou vice-versa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ A $. É um retângulo onde $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de 0 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como iterada:
A
Isso significa que vamos integrar a função x primeiro em relação a y de 0 a 1 e depois em relação a integraly=0^2 integralx=0^1 (2x + 5y) , dx , dy de 0 a 2.

Passo 3

Vamos integrar a função 2x + 5y em relação a x:
integralx=0^1 (2x + 5y) , dx
A integral de 2x em relação a x é x^2 e a integral de 5y em relação a x é 5y cdot x, porque y é tratado como uma constante. Então temos:
[ x^2 + 5y cdot x ]0^1 = (1^2 + 5y cdot 1) - (0^2 + 5y cdot 0) = 1 + 5y
Então, após a primeira integração, a expressão fica 1 + 5y.

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado 1 + 5y em relação a y de 0 a 2:
integraly=0^2 (1 + 5y) , dy
A integral de 1 em relação a y é y e a integral de 5y em relação a y é 52y^2. Então temos:
[ y + 52y^2 ]0^2 = (2 + 52 cdot 4) - (0 + 52 cdot 0) = 2 + 10 = 12

Resposta

O valor da integral dupla é 12.

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