Seja A B C um triângulo e seja M o ponto médio de \overline{B C}.
(a) Mostre que \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}).
(b) Mostre que \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
(c) Mostre que A B C é isósceles em A se e somente se as retas ( B C ) e ( A M ) são ortogonais.
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede:
Temos um triângulo A B C.
O ponto M é o ponto médio de \overline{B C}. Isso significa que M pertence ao segmento \overline{B C} e que \overline{B M} e \overline{M C} têm o mesmo comprimento.
Perguntas:
(a) Mostrar que \displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).
(b) Mostrar que \displaystyle \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
(c) Mostrar que o triângulo A B C é isósceles em A (isto é, \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|) se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.
Nenhuma outra informação está dada; vamos usar propriedades básicas de vetores (adição, igualdade, produto escalar, norma) e a definição de ponto médio.
Passo 2
Prova de (a). Primeiro peças básicas de álgebra vetorial que vou usar:
Regra de soma de vetores ao seguir pontos: para quaisquer pontos X,Y,Z vale \overrightarrow{X Z}=\overrightarrow{X Y}+\overrightarrow{Y Z}.
Se M é o ponto médio de \overline{B C}, então \overrightarrow{B M}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{B C}. Vou usar estas duas ideias.
Prova de (b). Vou usar a linearidade (bilinearidade) do produto escalar e a simetria \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}, além da identidade \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^{2}.
Duas retas são ortogonais se, e somente se, os vetores direcionais de uma e da outra têm produto escalar zero.
O triângulo A B C é isósceles em A significa \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|, ou equivalentemente \|\overrightarrow{A B}\|^{2}=\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
Se A B C é isósceles em A, então \|\overrightarrow{A B}\|^{2}=\|\overrightarrow{A C}\|^{2}. Assim o lado direito é zero, logo \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=0. Isso mostra que os vetores \overrightarrow{B C} e \overrightarrow{A M} são ortogonais, ou seja, as retas (B C) e (A M) são perpendiculares.
Reciprocamente, se as retas (B C) e (A M) são ortogonais então \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=0. Pela fórmula acima isso implica \|\overrightarrow{A C}\|^{2}-\|\overrightarrow{A B}\|^{2}=0, portanto \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|. Logo o triângulo é isósceles em A.
Portanto A B C é isósceles em A se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.
Resposta
(a) \displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).\n
(b) \displaystyle \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.\n
(c) A B C é isósceles em A se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.