Seja A B C um triângulo e seja M o ponto médio de \overline{B C}.
(a) Mostre que \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}).
(b) Mostre que \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
(c) Mostre que A B C é isósceles em A se e somente se as retas ( B C ) e ( A M ) são ortogonais.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:
  • Temos um triângulo A B C.
  • O ponto M é o ponto médio de \overline{B C}. Isso significa que M pertence ao segmento \overline{B C} e que \overline{B M} e \overline{M C} têm o mesmo comprimento.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que \displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).
    (b) Mostrar que \displaystyle \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
    (c) Mostrar que o triângulo A B C é isósceles em A (isto é, \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|) se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.
Nenhuma outra informação está dada; vamos usar propriedades básicas de vetores (adição, igualdade, produto escalar, norma) e a definição de ponto médio.

Passo 2

Prova de (a). Primeiro peças básicas de álgebra vetorial que vou usar:
  • Regra de soma de vetores ao seguir pontos: para quaisquer pontos X,Y,Z vale \overrightarrow{X Z}=\overrightarrow{X Y}+\overrightarrow{Y Z}.
  • Se M é o ponto médio de \overline{B C}, então \overrightarrow{B M}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{B C}. Vou usar estas duas ideias.
Agora aplico a primeira regra ao triplo A,B,M:
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}.
Substituo \overrightarrow{B M}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{B C} (pela definição de ponto médio):
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\,\overrightarrow{B C}.
Expresso \overrightarrow{B C} em termos de \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}. Pela regra de soma aplicada a B,A,C:
\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}.
Substituindo isso em \overrightarrow{A M}:
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\bigl(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).
Agora distribuo e somo os termos:
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).
Isso prova (a).

Passo 3

Prova de (b). Vou usar a linearidade (bilinearidade) do produto escalar e a simetria \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}, além da identidade \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^{2}.
Começo usando o resultado de (a):
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B C}\cdot\left(\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr)\right).
Pelo fator escalar e pela linearidade do produto escalar:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A C}\bigr).
Agora exprimo \overrightarrow{B C} como antes: \overrightarrow{B C}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}. Substituo em cada termo:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A B}=(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})\cdot\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A B}.
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A C}=(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})\cdot\overrightarrow{A C}=-\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A C}.
Somando os dois resultados dentro do parêntese:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A C}= \bigl(-\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A B}\bigr) +\bigl(-\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A C}\bigr).
Usando a simetria \overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}, os termos mistos cancelam:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A C}=-\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
Finalmente, multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(-\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\|\overrightarrow{A C}\|^{2}\bigr)=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2},
que é exatamente o que se pedia.

Passo 4

Prova de (c). Recordo duas ideias chave:
  • Duas retas são ortogonais se, e somente se, os vetores direcionais de uma e da outra têm produto escalar zero.
  • O triângulo A B C é isósceles em A significa \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|, ou equivalentemente \|\overrightarrow{A B}\|^{2}=\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.
Usando o resultado de (b) escrevo:
\overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\|\overrightarrow{A C}\|^{2}-\|\overrightarrow{A B}\|^{2}\bigr).
  • Se A B C é isósceles em A, então \|\overrightarrow{A B}\|^{2}=\|\overrightarrow{A C}\|^{2}. Assim o lado direito é zero, logo \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=0. Isso mostra que os vetores \overrightarrow{B C} e \overrightarrow{A M} são ortogonais, ou seja, as retas (B C) e (A M) são perpendiculares.
  • Reciprocamente, se as retas (B C) e (A M) são ortogonais então \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=0. Pela fórmula acima isso implica \|\overrightarrow{A C}\|^{2}-\|\overrightarrow{A B}\|^{2}=0, portanto \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{A C}\|. Logo o triângulo é isósceles em A.
Portanto A B C é isósceles em A se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.

Resposta

(a) \displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\bigr).\n
(b) \displaystyle \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A B}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\overrightarrow{A C}\|^{2}.\n
(c) A B C é isósceles em A se, e somente se, as retas (B C) e (A M) são ortogonais.

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