Calcule a corrente de dois circuitos, um RC e outro RL, ambos em série e alimentados por uma fonte de tensão contínua varepsilon. Considere t=0 o instante que a bateria foi ligada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois circuitos básicos aqui: um RL (Resistor-Indutor) e um RC (Resistor-Capacitor), ambos ligados em série e alimentados por uma fonte de tensão contínua ε. O objetivo é calcular a corrente que passa por cada um desses circuitos no instante inicial (t = 0) e depois do acionamento da bateria. Para isso, vamos precisar entender como resistores, indutores e capacitores se comportam em circuitos com corrente contínua e aplicar algumas fórmulas de física básica de circuitos elétricos.

Passo 2

Vamos começar com o circuito RL. Nesse circuito, temos um resistor (R) e um indutor (L) ligados em série com uma fonte de tensão contínua ε. Quando a bateria é ligada no tempo t = 0, a corrente começa a aumentar gradualmente.
Teoria aplicada:
  • Lei de Kirchhoff das Tensões: A soma das quedas de tensão no resistor e no indutor deve ser igual à tensão da fonte.
  • Força Eletromotriz do Indutor: A tensão no indutor é dada por V_L = L \cdot (dI/dt), onde I é a corrente.
  • Equação Diferencial: A equação resultante é ε = R \cdot I + L \cdot (dI/dt).
Resolução:
  1. Escrevemos a equação: ε = R \cdot I + L \cdot (dI/dt).
  2. Rearranjamos para: dI/dt + (R/L) \cdot I = ε/L.
  3. Resolver essa equação diferencial resulta na corrente em função do tempo:
    IRL(t) = varepsilonR (1 - e^-RL t)

Passo 3

Agora, vamos para o circuito RC. Aqui temos um resistor (R) e um capacitor (C) em série com a mesma fonte de tensão contínua ε. Quando a bateria é ligada em t = 0, o capacitor começa a carregar, e a corrente diminui com o tempo.
Teoria aplicada:
  • Lei de Kirchhoff das Tensões: A soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte.
  • Capacitância: A corrente no circuito RC está relacionada à taxa de variação da carga no capacitor.
  • Equação Diferencial: A equação resultante é ε = R \cdot I + \frac{1}{C} \int I , dt.
Resolução:
  1. Diferenciamos a equação de Kirchhoff para facilitar a resolução: dV_C/dt = \frac{I}{C}.
  2. Após manipulações, a corrente em função do tempo fica:
    IRC(t) = varepsilonR e^-tRC

Resposta

A corrente nos circuitos é dada por:
  • Circuito RL:
    IRL(t) = varepsilonR (1 - e^-RL t)
  • Circuito RC:
    IRC(t) = varepsilonR e^-tRC

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