A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. Sabendo que o momento de inércia da roda vale
, determine a energia cinética de rotação e o torque resultante para
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um ponto numa roda cuja posição angular é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. A matéria que vamos usar aqui é de cinemática rotacional e dinâmica rotacional, especificamente energia cinética de rotação e torque. Para resolver, precisamos calcular a velocidade angular, a aceleração angular, e então usar essas informações para encontrar a energia cinética e o torque na roda no instante
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da posição angular
:
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade angular
, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Passo 4
Em seguida, para encontrar a aceleração angular
, derivamos
em relação ao tempo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade angular e a aceleração angular no instante
segundos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Onde
é o momento de inércia da roda, que é
, e
já encontramos:
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o torque usando a fórmula:
Já temos
e
:
Resposta
A energia cinética de rotação da roda em
segundos é de 97,2 J e o torque resultante é de 0,396 N·m.