A posição angular de um ponto de uma roda é dada por theta=3,0(1,0+t^2)+ 2,0 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos. Sabendo que o momento de inércia da roda vale 6,0 times 10^-3 kg cdot m^2, determine a energia cinética de rotação e o torque resultante para t=5,0 s.

Passo 1

Vamos lá! Temos um ponto numa roda cuja posição angular é dada por theta = 3,0(1,0 + t^2) + 2,0 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos. A matéria que vamos usar aqui é de cinemática rotacional e dinâmica rotacional, especificamente energia cinética de rotação e torque. Para resolver, precisamos calcular a velocidade angular, a aceleração angular, e então usar essas informações para encontrar a energia cinética e o torque na roda no instante t = 5,0 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da posição angular theta:
theta(t) = 3,0(1,0 + t^2) + 2,0 t^3 = 3,0 + 3,0 t^2 + 2,0 t^3

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos derivar theta(t) em relação ao tempo t:
omega(t) = dthetadt = ddt(3,0 + 3,0 t^2 + 2,0 t^3) = 0 + 6,0 t + 6,0 t^2 = 6,0 t + 6,0 t^2

Passo 4

Em seguida, para encontrar a aceleração angular alpha(t), derivamos omega(t) em relação ao tempo t:
alpha(t) = domegadt = ddt(6,0 t + 6,0 t^2) = 6,0 + 12,0 t

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade angular e a aceleração angular no instante t = 5,0 segundos:
omega(5,0) = 6,0 times 5,0 + 6,0 times (5,0)^2 = 30,0 + 6,0 times 25,0 = 30,0 + 150,0 = 180,0 rad/s
alpha(5,0) = 6,0 + 12,0 times 5,0 = 6,0 + 60,0 = 66,0 rad/s^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Ek = 12 I omega^2
Onde I é o momento de inércia da roda, que é 6,0 times 10^-3 , kg cdot m^2, e omega já encontramos:
Ek = 12 times 6,0 times 10^-3 times (180,0)^2
Primeiro, calculamos (180,0)^2 = 32.400:
Ek = 12 times 6,0 times 10^-3 times 32.400 = 3,0 times 10^-3 times 32.400 = 97,2 J

Passo 7

Agora, vamos calcular o torque usando a fórmula:
tau = I alpha
Já temos alpha = 66,0 , rad/s^2 e I = 6,0 times 10^-3 , kg cdot m^2:
tau = 6,0 times 10^-3 times 66,0 = 0,396 , N cdot m

Resposta

A energia cinética de rotação da roda em t = 5,0 segundos é de 97,2 J e o torque resultante é de 0,396 N·m.

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