Determine o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento
e massa
, em relação ao eixo que passa perpendicularmente ao seu comprimento aumquarto a um quarto de seu comprimento de uma das extremidades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento $ L $ e massa $ M $, em relação a um eixo que é perpendicular ao comprimento da barra e está a um quarto do comprimento a partir de uma das extremidades. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar algumas fórmulas básicas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia, o que significa que será mais difícil girar o objeto em torno desse eixo.
Passo 3
Sabemos que o momento de inércia de uma barra fina e homogênea em relação ao seu centro de massa é dado por:
Onde:
- $ I_{cm} $ é o momento de inércia no centro de massa.
- $ M $ é a massa da barra.
- $ L $ é o comprimento da barra.
Passo 4
No nosso caso, o eixo não está passando pelo centro de massa, mas sim a um quarto do comprimento a partir de uma extremidade. Para achar o momento de inércia nessa nova posição, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia no novo eixo.
- $ d $ é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.
Passo 5
Vamos calcular a distância $ d $. O centro de massa está no meio da barra, ou seja, a $ \frac{L}{2} $ de uma extremidade. O novo eixo está a $ \frac{L}{4} $ de uma extremidade. Portanto:
Agora, aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
Somando as frações:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao eixo especificado é: