Expresse a seguinte equação diferencial de 2^a ordem como um conjunto de equações diferenciais de 1^a ordem.
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+5 y(t)=u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para transformar uma equação diferencial de segunda ordem em um conjunto de equações de primeira ordem. A equação que temos é:
d^2 y(t)d t^2 + 6 d y(t)d t + 5 y(t) = u(t)
Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar definir variáveis auxiliares que nos ajudem a quebrar a equação de segunda ordem em duas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova variável para representar a primeira derivada de x1(t) = y(t) . Vamos chamar essa variável de d x1(t)d t = d y(t)d t . Assim:
Isso significa que a derivada de em relação ao tempo será:

Passo 3

Agora, vamos definir outra variável para representar a segunda derivada de x2(t) = d y(t)d t . Vamos chamar essa de d x2(t)d t = d^2 y(t)d t^2 :
Isso implica que a derivada de em relação a é:

Passo 4

Com essas definições, podemos reescrever a equação original substituindo as derivadas de d x2(t)d t + 6 x2(t) + 5 x1(t) = u(t) por e :

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações de primeira ordem:
  1. A definição de d x1(t)d t = x2(t) :
d x2(t)d t = u(t) - 6 x2(t) - 5 x1(t)
  1. A equação substituída:

Resposta

Portanto, a equação diferencial original de segunda ordem foi expressa como o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
d x1(t)d t = x2(t) d x2(t)d t = u(t) - 6 x2(t) - 5 x1(t)

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