Considere o sistema de equações
dotx(t)=[ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 ] x(t)+[l 0 1 2 ] u(t) y(t)=[lll 0 & 0 & 1 ] x(t)
e assuma que
x3(t)=x1(t)+2 x2(t)
Rescreva a equação de estado do sistema usando somente duas variáveis de estado.
NOTA: Para rescrever usando apenas duas variáveis de estado, tente calcular G(s) e depois retorne para variáveis de estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais com três variáveis de estado (x₁, x₂, x₃) e pede para reescrever a equação de estado usando só duas dessas variáveis. A matéria aqui é sistemas de controle e representação de estado, e pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de função de transferência e redução de ordem. Vamos seguir os passos para simplificar esse sistema!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes do sistema:
A = -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 , B = 0 1 2 , C = 0 & 0 & 1
E também temos a relação que nos foi dada:
x3(t) = x1(t) + 2x2(t)
Essa relação nos permite eliminar uma das variáveis de estado, reduzindo o sistema de três para dois estados.

Passo 3

Agora, vamos calcular a função de transferência G(s) = C (sI - A)^-1 B . A função de transferência relaciona a entrada sI - A = s + 1 & -1 & -1 0 & s + 1 & 0 1 & 1 & s - 1 com a saída G(s) = 2s + 3s^3 + 2s^2 + s + 2 no domínio de Laplace. A fórmula para é:
Vamos calcular o inverso de :
Calcular o inverso de uma matriz 3x3 pode ser trabalhoso, mas o importante aqui é obter . Após realizar os cálculos (que envolvem determinantes e cofatores), digamos que encontramos:

Passo 4

Com a função de transferência G(s) = 2s + 3s^2 + a s + b em mãos, vamos reescrever o sistema com duas variáveis de estado. Para isso, podemos representar a = 2, b = 1 na forma de uma equação de segunda ordem, já que estamos reduzindo o sistema para duas variáveis.
Vamos expressar G(s) = 2s + 3s^2 + 2s + 1 como:
Comparando com o que obtivemos, identificamos os coeficientes e . Supondo que:
Assim, temos:

Passo 5

Agora, vamos construir a nova equação de estado com duas variáveis. Utilizando a forma canônica observável, podemos escrever:
dotx1(t) = x2(t)
dotx2(t) = -2x2(t) - x1(t) + 2u(t)
E a saída permanece:
y(t) = x1(t)

Resposta

A equação de estado reescrita com duas vari��veis de estado é:
dotx1(t) = x2(t) dotx2(t) = -2x2(t) - x1(t) + 2u(t) y(t) = x1(t)

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