Calcule corretamente a integral integral0^1 integral2 x^1+x integralz^x+z x d y d z d x.

Passo 1

A gente precisa calcular uma integral tripla com x variando de 0 a 1, depois z de 2x a 1+x e finalmente y de z a x+z. O conteúdo aqui é integração iterada, então vamos integrar passo a passo nas variáveis y, depois z e por fim x.

Passo 2

Primeiro, integramos em y mantendo x e z constantes. A integral
integraly=z^x+z x,dy
é simplesmente x multiplicado pelo comprimento do intervalo em y, que é (x+z)−z=x. Logo obtemos
x cdot x = x^2

Passo 3

Agora nossa integral virou
integralx=0^1integralz=2x^1+x x^2 ,dz,dx
Integramos em z: x^2 é constante em relação a z, então
integralz=2x^1+x x^2,dz = x^2l[(1+x) - (2x)r] = x^2(1 - x)

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:
integral0^1 x^2(1 - x),dx = integral0^1 (x^2 - x^3),dx = l[tfracx^33 - tfracx^44r]0^1 = tfrac13 - tfrac14 = tfrac112

Passo 5

Então o valor da integral tripla é 1/12.

Resposta

tfrac112

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