Calcule a) \cos \left(\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{3}\right)\right)
b) \operatorname{sen}\left(2 \operatorname{arcsen}\left(-\frac{3}{5}\right)\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
  • A parte (a) pede calcular \cos\!\left(\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\right).
  • A parte (b) pede calcular \operatorname{sen}\!\left(2\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right).
Informações relevantes que o enunciado dá (e que usaremos):
  • Para qualquer número x com -1\le x\le1, \operatorname{arcsen}(x) é um ângulo \theta tal que \sin\theta=x e o valor principal de \operatorname{arcsen} fica em \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • A identidade pitagórica fundamental é \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
  • A identidade de ângulo duplo para seno é \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.

Passo 2

Explicando a ideia geral (sem ainda fazer contas): quando temos expressões do tipo \cos(\operatorname{arcsen}(\cdot)) ou \sin(2\operatorname{arcsen}(\cdot)), é prático definir o ângulo interno como \theta=\operatorname{arcsen}(x). Então sabemos imediatamente que \sin\theta=x. A partir da identidade pitagórica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 obtemos \cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}. O sinal (+) ou (-) é escolhido observando em qual quadrante o ângulo \theta está; como \operatorname{arcsen} fornece \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], o cosseno nesse intervalo é sempre não negativo, ou seja, \cos\theta\ge0. Para a parte com \sin(2\theta) usamos \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.

Passo 3

Resolver a parte (a) passo a passo.
Defina \theta=\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right). Então por definição:
\sin\theta=\dfrac{1}{3}.
Usando a identidade pitagórica:
\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}=\pm\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\pm\dfrac{\sqrt{8}}{3}.
Agora escolhemos o sinal. Como \theta=\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right) pertence a \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], o cosseno é não negativo nesse intervalo. Logo tomamos o sinal positivo:
\cos\theta=\dfrac{\sqrt{8}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto
\cos\!\left(\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Resolver a parte (b) passo a passo.
Defina \varphi=\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{3}{5}\right). Então por definição:
\sin\varphi=-\dfrac{3}{5}.
Usando a identidade pitagórica para obter \cos\varphi:
\cos\varphi=\pm\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\pm\sqrt{1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\pm\dfrac{4}{5}.
Para escolher o sinal, lembramos que \varphi=\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{3}{5}\right) está em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Mesmo que \sin\varphi seja negativo (ângulo negativo), o cosseno nesse intervalo é não negativo. Portanto
\cos\varphi=\dfrac{4}{5}.
Agora aplicamos a identidade do ângulo duplo:
\sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi=2\left(-\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)=-\dfrac{24}{25}.
Portanto
\operatorname{sen}\!\left(2\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)=-\dfrac{24}{25}.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
-\dfrac{24}{25}

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