Calcule a)
b)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
- A parte (a) pede calcular
. - A parte (b) pede calcular
.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que usaremos):
- Para qualquer número
com , é um ângulo tal que e o valor principal de fica em . - A identidade pitagórica fundamental é
. - A identidade de ângulo duplo para seno é
.
Passo 2
Explicando a ideia geral (sem ainda fazer contas): quando temos expressões do tipo
ou
, é prático definir o ângulo interno como
. Então sabemos imediatamente que
. A partir da identidade pitagórica
obtemos
. O sinal
ou
é escolhido observando em qual quadrante o ângulo
está; como
fornece
, o cosseno nesse intervalo é sempre não negativo, ou seja,
. Para a parte com
usamos
.
Passo 3
Resolver a parte (a) passo a passo.
Defina
. Então por definição:
Usando a identidade pitagórica:
Agora escolhemos o sinal. Como
pertence a
, o cosseno é não negativo nesse intervalo. Logo tomamos o sinal positivo:
Portanto
Passo 4
Resolver a parte (b) passo a passo.
Defina
. Então por definição:
Usando a identidade pitagórica para obter
:
Para escolher o sinal, lembramos que
está em
. Mesmo que
seja negativo (ângulo negativo), o cosseno nesse intervalo é não negativo. Portanto
Agora aplicamos a identidade do ângulo duplo:
Portanto