Calcule
até a terceira ordem.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular
até a terceira ordem. Para isso, vamos utilizar séries de Taylor, que nos permitem aproximar funções de forma polinomial. Precisaremos expandir tanto
quanto
em séries de Taylor e multiplicar as expansões considerando os termos até
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função cosseno hiperbólico,
. A série de Taylor de
centrada em
é:
Como estamos trabalhando até a terceira ordem e
possui apenas termos pares, vamos considerar os termos até
:
Passo 3
Agora, vamos expandir a função
em série de Taylor. A série de Taylor de
centrada em
é:
Como precisamos até a terceira ordem, mantemos os termos até
:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as duas séries aproximadas até a terceira ordem:
Vamos multiplicar cada termo da primeira série por cada termo da segunda série:
-
-
-
-
-
-
-
(termo de ordem superior, ignoramos) -
(também de ordem superior, ignoramos)
Passo 5
Agora, somamos todos os termos até
:
Simplificando:
- Termo constante:
- Termo de
: - Termo de
: - Termo de
:
Resposta
Portanto, a aproximação de
até a terceira ordem é: