Calcule cosh (x) cdot raiz(1+x) até a terceira ordem.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular cosh(x) cdot raiz1 + x até a terceira ordem. Para isso, vamos utilizar séries de Taylor, que nos permitem aproximar funções de forma polinomial. Precisaremos expandir tanto cosh(x) quanto raiz1 + x em séries de Taylor e multiplicar as expansões considerando os termos até x^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função cosseno hiperbólico, cosh(x). A série de Taylor de cosh(x) centrada em x=0 é:
cosh(x) = 1 + x^22! + x^44! + cdots
Como estamos trabalhando até a terceira ordem e cosh(x) possui apenas termos pares, vamos considerar os termos até x^2:
cosh(x) approx 1 + x^22

Passo 3

Agora, vamos expandir a função raiz1 + x em série de Taylor. A série de Taylor de raiz1 + x centrada em x=0 é:
raiz1 + x = 1 + x2 - x^28 + x^316 + cdots
Como precisamos até a terceira ordem, mantemos os termos até x^3:
raiz1 + x approx 1 + x2 - x^28 + x^316

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as duas séries aproximadas até a terceira ordem:
cosh(x) cdot raiz1 + x approx (1 + x^22) cdot (1 + x2 - x^28 + x^316)
Vamos multiplicar cada termo da primeira série por cada termo da segunda série:
  • 1 cdot 1 = 1
  • 1 cdot x2 = x2
  • 1 cdot (-x^28) = -x^28
  • 1 cdot x^316 = x^316
  • x^22 cdot 1 = x^22
  • x^22 cdot x2 = x^34
  • x^22 cdot (-x^28) = -x^416 (termo de ordem superior, ignoramos)
  • x^22 cdot x^316 = x^532 (também de ordem superior, ignoramos)

Passo 5

Agora, somamos todos os termos até x^3:
1 + x2 - x^28 + x^316 + x^22 + x^34
Simplificando:
  • Termo constante: 1
  • Termo de x: x2
  • Termo de x^2: -x^28 + x^22 = 3x^28
  • Termo de x^3: x^316 + x^34 = 5x^316

Resposta

Portanto, a aproximação de cosh(x) cdot raiz1 + x até a terceira ordem é:
cosh(x) cdot raiz1 + x approx 1 + x2 + 3x^28 + 5x^316

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