Explique por que as seguintes definições de lim x a f(x)=l estão todas corretas:
Para todo varepsilon>0, existe um de0 tal que, para todo x, se 0<|x-a|, então |f(x)-l|<5 varepsilon.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que trocar o “ε” por “5ε” na definição de limite não altera nada: continua sendo a mesma definição de \lim_{x\to a} f(x)=l. Vamos usar a ideia de reescalar ε para provar equivalência entre as duas definições.

Passo 2

Começamos lembrando a definição padrão de limite: $$
\forall ε>0,\exists δ>0 tal que 0<|x-a|<δ \implies |f(x)-l|<ε.
$$ Agora queremos a versão “5ε”: $$
\forall ε>0,\exists δ>0 tal que 0<|x-a|<δ \implies |f(x)-l|<5ε.
$$ Vamos mostrar que cada uma implica a outra.

Passo 3

(1) Definição padrão ⇒ Definição com 5ε.
Dado um ε>0 na definição que usa “5ε”, definimos ε’ = 5ε. Pela definição padrão, existe δ>0 tal que 0<|x-a|<δ implica |f(x)-l|<ε’. Mas ε’=5ε, logo 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-l|<5ε. Isso mostra que a versão original garante também a versão com 5ε.

Passo 4

(2) Definição com 5ε ⇒ Definição padrão.
Agora, dado um ε>0 na definição padrão, colocamos ε’’ = ε/5. Pela hipótese da versão com 5ε, existe δ>0 tal que 0<|x-a|<δ implica |f(x)-l|<5ε’’. Mas 5ε’’ = ε, então 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-l|<ε. Com isso, a definição com 5ε garante a definição original.

Passo 5

Como mostramos que cada definição implica a outra, concluímos que usar “5ε” no lugar de “ε” não altera a força da definição de limite. Qualquer constante positiva multiplicando ε funciona da mesma maneira.

Resposta

As duas definições são logicamente equivalentes porque, dado um ε>0, basta reescalonar ε (para 5ε ou para ε/5) e usar o δ correspondente na definição padrão. Assim trocar ε por 5ε (ou por qualquer constante positiva) não muda a essência da definição de limite.

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