Explique por que as seguintes definições de
estão todas corretas:
Para todo
, existe um
tal que, para todo
, se
, então
.
Para todo
Passo 1
A questão pede para mostrar que usar desigualdades estritas ou não—tanto em
como em
ou nos casos com
—gera definições equivalentes de
. Vamos aproveitar o fato de que podemos ajustar
(ou
) para passar de uma forma à outra.
Passo 2
Primeiro, compare as conclusões
e
. Se uma definição garante
, então em particular já dá
.
Reciprocamente, suponha que da definição com você obtenha um
para cada
. Então, para garantir
, basta aplicar a definição original usando
. Assim obtemos
.
Reciprocamente, suponha que da definição com
Passo 3
Agora, compare as hipóteses
e
. Claramente,
implica
.
Para inverter, se uma definição exige podemos atender uma versão com
pedindo
onde
, pois
implica
.
Para inverter, se uma definição exige
Passo 4
Juntando tudo, vemos que qualquer forma com combinações de
ou
em hipóteses e conclusões se transforma nas demais ajustando
(ou
). Por isso todas essas definições são equivalentes.
Resposta
As formas com desigualdade estrita ou não em
e em
são equivalentes porque, ao trocar um
por um
(ou vice‐versa), basta redefinir
(ou
) de modo apropriado (por exemplo, usar
ou
) para manter as condições. Assim, todas as variações levam ao mesmo conceito de limite.