Explique por que as seguintes definições de lim x a f(x)=l estão todas corretas:
Para todo varepsilon>0, existe um de0 tal que, para todo x, se 0<|x-a|, então |f(x)-l| <= varepsilon.

Passo 1

A questão pede para mostrar que usar desigualdades estritas ou não—tanto em |x-a| como em |f(x)-l| ou nos casos com <=—gera definições equivalentes de limxto af(x)=l. Vamos aproveitar o fato de que podemos ajustar de (ou varepsilon) para passar de uma forma à outra.

Passo 2

Primeiro, compare as conclusões |f(x)-l| e |f(x)-l|<=varepsilon. Se uma definição garante |f(x)-l|, então em particular já dá |f(x)-l|<=varepsilon.
Reciprocamente, suponha que da definição com |f(x)-l|<=varepsilon você obtenha um de para cada varepsilon. Então, para garantir |f(x)-l|, basta aplicar a definição original usando varepsilon' = varepsilon/2. Assim obtemos |f(x)-l| <= varepsilon/2 < varepsilon.

Passo 3

Agora, compare as hipóteses 0<|x-a| e 0<|x-a|<=de. Claramente, |x-a| implica |x-a|<=de.
Para inverter, se uma definição exige 0<|x-a| podemos atender uma versão com 0<|x-a|<=de pedindo |x-a| onde de, pois |x-a|<=de implica |x-a|.

Passo 4

Juntando tudo, vemos que qualquer forma com combinações de < ou <= em hipóteses e conclusões se transforma nas demais ajustando de (ou varepsilon). Por isso todas essas definições são equivalentes.

Resposta

As formas com desigualdade estrita ou não em |x-a| e em |f(x)-l| são equivalentes porque, ao trocar um < por um <= (ou vice‐versa), basta redefinir de (ou varepsilon) de modo apropriado (por exemplo, usar varepsilon/2 ou de) para manter as condições. Assim, todas as variações levam ao mesmo conceito de limite.

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