Explique por que as seguintes definições de lim x a f(x)=l estão todas corretas:
Para todo varepsilon>0, existe um de0 tal que, para todo x, se 0<|x-a|, então |f(x)-l|.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos a definição formal de
lim_{x→a} f(x)=l, isto é, a definição ε–δ que captura a ideia intuitiva de “f(x) chega tão perto de l quanto quisermos, desde que x chegue perto de a”.

Passo 2

Na definição “para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se 0<|x–a|<δ então |f(x)–l|<ε”, cada quantificador tem um papel:
– “para todo ε>0” garante que o quão perto de l queremos chegar é arbitrário;
– “existe δ>0” garante que podemos encontrar uma porta (vizinhança de a) compatível;
– “se 0<|x–a|<δ” diz que x está suficientemente próximo de a, mas não igual a a;
– “então |f(x)–l|<ε” formaliza a proximidade de f(x) a l.

Passo 3

Essa definição é correta porque, ao variar ε, conseguimos sempre escolher um δ que obriga f(x) a ficar dentro do intervalo (l–ε, l+ε) sempre que x estiver dentro do intervalo (a–δ, a+δ) (exceto no próprio ponto x=a). Isso traduz rigorosamente a noção de limite.

Passo 4

Todas as variações usuais dessa definição (por exemplo trocar a ordem de alguns estilos de quantificadores ou explicitar que x≠a) levam ao mesmo requisito essencial: vincular diretamente a distância |x–a| à distância |f(x)–l|. Por isso todas elas são equivalentes e “corretas”.

Resposta

A definição ε–δ captura exatamente a ideia de que f(x) pode ficar arbitrariamente próxima de l sempre que x estiver suficientemente próximo (mas não igual) de a. Qualquer formulação que estabeleça este mesmo vínculo entre |x–a| e |f(x)–l| — mesmo que altere a ordem dos quantificadores ou a forma de explicitar x≠a — será equivalente e, portanto, correta.

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