Os lados de um triângulo A B C medem a=4, b=5 e c=6. Mostre que \widehat{C}=2 \widehat{A}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com lados opostos a A,B,C medindo
a=4,\quad b=5,\quad c=6,
e pede para mostrar que
\widehat C = 2\,\widehat A.
Para isso, vamos usar o Teorema dos Cossenos para obter \cos A e \cos C e, em seguida, a fórmula do cosseno do ângulo duplo.

Passo 2

Pelo Teorema dos Cossenos, temos
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2\cdot5\cdot6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4},
e
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2\cdot4\cdot5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}.
Por outro lado, a fórmula do cosseno do duplo ângulo diz que
\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 = 2\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{2} - 1 = 2\cdot\frac{9}{16} - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}.
Logo
\cos C = \frac{1}{8} = \cos(2A).
Como A e C são ângulos do triângulo (entre 0 e \pi), concluímos que
\widehat C = 2\,\widehat A.

Resposta

\displaystyle \widehat C = 2\,\widehat A.

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