Dada f(x, y)=4 x^2-3 x y+y^2, mostre que não existe vetor unitário u, tal que: D F(2,1)mu<-raiz185 e undersetmuD F(2,1)>raiz185;

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=4x^2-3xy+y^2 e queremos mostrar que não existe vetor unitário u tal que Du f(2,1)<-raiz185 ou Du f(2,1)>raiz185. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f para obter o gradiente. Temos:
fx(x,y)=partialpartial x(4x^2-3xy+y^2)=8x-3y, fy(x,y)=partialpartial y(4x^2-3xy+y^2)=-3x+2y

Passo 3

Em (2,1) isso dá:
nabla f(2,1)=(8cdot2-3cdot1,,-3cdot2+2cdot1)=(13,-4)

Passo 4

Agora calculamos a norma desse gradiente:
|nabla f(2,1)|=raiz13^2+(-4)^2=raiz169+16=raiz185

Passo 5

A derivada direcional de f em (2,1) na direção de um vetor unitário u é dada por
Du f(2,1)=nabla f(2,1)cdot u
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
|Du f(2,1)|=|nabla f(2,1)cdot u|<=|nabla f(2,1)|,|u|=raiz185cdot1=raiz185
Logo temos
-raiz185<= Du f(2,1)<=raiz185

Passo 6

Isso mostra que não há vetor unitário u que torne Du f(2,1) menor que -raiz185 nem maior que raiz185.

Resposta

Não existe vetor unitário u tal que D_u f(2,1)<-\sqrt{185} ou D_u f(2,1)>\sqrt{185}.

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