Dada
, mostre que não existe vetor unitário
, tal que:
e
;
Passo 1
Estamos com a função
e queremos mostrar que não existe vetor unitário
tal que
ou
. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
para obter o gradiente. Temos:
Passo 3
Em
isso dá:
Passo 4
Agora calculamos a norma desse gradiente:
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é dada por
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
Logo temos
Passo 6
Isso mostra que não há vetor unitário
que torne
menor que
nem maior que
.
Resposta
Não existe vetor unitário u tal que D_u f(2,1)<-\sqrt{185} ou D_u f(2,1)>\sqrt{185}.