Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 da curva F(t)=(3 t^2, e^-2 t, ln (3 t^2+1)).

Passo 1

Então, a gente tem uma função vetorial $ F(t) = \left(3 t^{2},, e^{-2 t},, \ln\left(3 t^{2} + 1\right)\right) $ e precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada dela em relação a $ t $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar funções de várias componentes separadamente e depois juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja, se $ F(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t)) $, então:
F(t) = (f1(t), f2(t), f3(t))
Vamos aplicar isso à nossa função $ F(t) $.

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente $ 3t^{2} $. A derivada de $ t^{n} $ é $ n t^{n-1} $, então:
3t^2

Passo 4

Agora, a segunda componente $ e^{-2t} $. A derivada de $ e^{kt} $ é $ k e^{kt} $, então:
e^-2t

Passo 5

A terceira componente é $ \ln(3t^{2} + 1) $. Para derivar o logaritmo natural de uma função, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt} $. Então:
ln(3t^2 + 1)

Passo 6

Agora, juntando as derivadas das três componentes, temos a primeira derivada de $ F(t) $:
F(t)

Passo 7

Vamos agora encontrar a segunda derivada, ou seja, derivar $ \frac{dF}{dt} $ novamente em relação a $ t $. Vamos derivar cada componente da primeira derivada.

Passo 8

Derivando a primeira componente $ 6t $:
6t

Passo 9

Derivando a segunda componente $ -2 e^{-2t} $:
-2 e^-2t

Passo 10

Derivando a terceira componente $ \frac{6t}{3t^{2} + 1} $. Aqui, usamos a regra do quociente: se $ h(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, então $ h’(t) = \frac{u’(t)v(t) - u(t)v’(t)}{v(t)^{2}} $.
Primeiro, vamos identificar $ u(t) = 6t $ e $ v(t) = 3t^{2} + 1 $.
Calculando $ u’(t) = 6 $ e $ v’(t) = 6t $.
Então:
6t3t^2 + 1

Passo 11

Agora, juntando as derivadas das três componentes da primeira derivada, temos a segunda derivada de $ F(t) $:
F(t)

Resposta

As derivadas da curva $ F(t) $ são:
F(t)
e
dFdt = (6t,; -2 e^-2t,; 6t3t^2 + 1)

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