Calcule
e
da curva
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função vetorial $ F(t) = \left(3 t^{2},, e^{-2 t},, \ln\left(3 t^{2} + 1\right)\right) $ e precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada dela em relação a $ t $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar funções de várias componentes separadamente e depois juntar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja, se $ F(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t)) $, então:
Vamos aplicar isso à nossa função $ F(t) $.
Passo 3
Vamos derivar a primeira componente $ 3t^{2} $. A derivada de $ t^{n} $ é $ n t^{n-1} $, então:
Passo 4
Agora, a segunda componente $ e^{-2t} $. A derivada de $ e^{kt} $ é $ k e^{kt} $, então:
Passo 5
A terceira componente é $ \ln(3t^{2} + 1) $. Para derivar o logaritmo natural de uma função, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt} $. Então:
Passo 6
Agora, juntando as derivadas das três componentes, temos a primeira derivada de $ F(t) $:
Passo 7
Vamos agora encontrar a segunda derivada, ou seja, derivar $ \frac{dF}{dt} $ novamente em relação a $ t $. Vamos derivar cada componente da primeira derivada.
Passo 8
Derivando a primeira componente $ 6t $:
Passo 9
Derivando a segunda componente $ -2 e^{-2t} $:
Passo 10
Derivando a terceira componente $ \frac{6t}{3t^{2} + 1} $. Aqui, usamos a regra do quociente: se $ h(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, então $ h’(t) = \frac{u’(t)v(t) - u(t)v’(t)}{v(t)^{2}} $.
Primeiro, vamos identificar $ u(t) = 6t $ e $ v(t) = 3t^{2} + 1 $.
Calculando $ u’(t) = 6 $ e $ v’(t) = 6t $.
Então:
Passo 11
Agora, juntando as derivadas das três componentes da primeira derivada, temos a segunda derivada de $ F(t) $:
Resposta
As derivadas da curva $ F(t) $ são:
e