Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.2)
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(17.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ e depois representar esse domínio em um gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de funções, especificamente sobre raízes quadradas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis (neste caso, $ x $ e $ y $) para os quais a função está definida, ou seja, que não causam problemas matemáticos como divisões por zero, raízes de números negativos, ou logaritmos de números não positivos.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ parte por parte para identificar as restrições:
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Raiz Quadrada
: - O que está dentro da raiz quadrada, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
- Então, temos: $ y^{2} - 4 \geq 0 $.
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Logaritmo Natural
: - O argumento do logaritmo, que é $ x - y $, precisa ser maior que zero, pois o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido nos números reais.
- Então, temos: $ x - y > 0 $.
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas inequações:
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Para $ y^{2} - 4 \geq 0 $:
- Podemos reescrever como $ y^{2} \geq 4 $.
- Tirando a raiz quadrada dos dois lados, lembrando que ao fazer isso, consideramos tanto valores positivos quanto negativos:
- $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $.
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Para $ x - y > 0 $:
- Podemos isolar $ x $:
- $ x > y $.
- Podemos isolar $ x $:
Passo 5
Agora, combinamos as duas condições para encontrar o domínio da função:
- $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $.
- E simultaneamente, $ x > y $.
Isso significa que para cada valor de $ y $ que satisfaça $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $, o valor correspondente de $ x $ deve ser maior que esse $ y $.
Passo 6
Vamos representar graficamente esse domínio:
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Condição $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $:
- No plano $ xy $, isso corresponde a todas as áreas acima da linha $ y = 2 $ e abaixo da linha $ y = -2 $.
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Condição $ x > y $:
- No mesmo plano, isso corresponde a toda a região acima da linha $ x = y $ (a linha onde $ x $ é igual a $ y $).
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Interseção das condições:
- O domínio será a parte das áreas $ y \geq 2 $ e $ y \leq -2 $ que também estão acima da linha $ x = y $.
Como não podemos desenhar aqui, imagine duas faixas horizontais no plano $ xy $ (acima de $ y = 2 $ e abaixo de $ y = -2 $) e dentro dessas faixas, apenas a parte à direita da linha $ x = y $ está incluída no domínio.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $ e $ x > y $. Graficamente, isso corresponde às regiões acima de $ y = 2 $ e abaixo de $ y = -2 $ no plano $ xy $, considerando apenas os pontos onde $ x $ é maior que $ y $.