Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.2) f(x, y)=raizy^2-4 ln (x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ e depois representar esse domínio em um gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de funções, especificamente sobre raízes quadradas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis (neste caso, $ x $ e $ y $) para os quais a função está definida, ou seja, que não causam problemas matemáticos como divisões por zero, raízes de números negativos, ou logaritmos de números não positivos.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ parte por parte para identificar as restrições:
  1. Raiz Quadrada f(x, y) = raizy^2-4 ln (x - y) :
    • O que está dentro da raiz quadrada, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
    • Então, temos: $ y^{2} - 4 \geq 0 $.
  2. Logaritmo Natural raizy^2-4:
    • O argumento do logaritmo, que é $ x - y $, precisa ser maior que zero, pois o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido nos números reais.
    • Então, temos: $ x - y > 0 $.

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas inequações:
  1. Para $ y^{2} - 4 \geq 0 $:
    • Podemos reescrever como $ y^{2} \geq 4 $.
    • Tirando a raiz quadrada dos dois lados, lembrando que ao fazer isso, consideramos tanto valores positivos quanto negativos:
      • $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $.
  2. Para $ x - y > 0 $:
    • Podemos isolar $ x $:
      • $ x > y $.

Passo 5

Agora, combinamos as duas condições para encontrar o domínio da função:
  • $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $.
  • E simultaneamente, $ x > y $.
Isso significa que para cada valor de $ y $ que satisfaça $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $, o valor correspondente de $ x $ deve ser maior que esse $ y $.

Passo 6

Vamos representar graficamente esse domínio:
  1. Condição $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $:
    • No plano $ xy $, isso corresponde a todas as áreas acima da linha $ y = 2 $ e abaixo da linha $ y = -2 $.
  2. Condição $ x > y $:
    • No mesmo plano, isso corresponde a toda a região acima da linha $ x = y $ (a linha onde $ x $ é igual a $ y $).
  3. Interseção das condições:
    • O domínio será a parte das áreas $ y \geq 2 $ e $ y \leq -2 $ que também estão acima da linha $ x = y $.
Como não podemos desenhar aqui, imagine duas faixas horizontais no plano $ xy $ (acima de $ y = 2 $ e abaixo de $ y = -2 $) e dentro dessas faixas, apenas a parte à direita da linha $ x = y $ está incluída no domínio.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y^{2}-4} \ln (x - y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que $ y \geq 2 $ ou $ y \leq -2 $ e $ x > y $. Graficamente, isso corresponde às regiões acima de $ y = 2 $ e abaixo de $ y = -2 $ no plano $ xy $, considerando apenas os pontos onde $ x $ é maior que $ y $.

Exercícios relacionados