Mostre que
não existe se:
(20.6)
e
.
(20.6)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o limite de $ f(x, y) = \frac{x^{2} - y{2}}{x{2} - 4y^{2}} $ quando o ponto $ P = (x, y) $ se aproxima de $ P_{0} = (0,0) $ não existe. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de $ (0,0) $ por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que o limite não existe. Em funções de duas variáveis, o limite existe somente se, independente do caminho que a gente escolha para se aproximar do ponto, o valor que a função tende a ser o mesmo. Se a gente encontrar caminhos diferentes que levam a valores diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de $ (0,0) $. O primeiro caminho será ao longo do eixo x, onde $ y = 0 $.
Quando $ y = 0 $, a função fica:
Então, ao nos aproximarmos de $ (0,0) $ pelo eixo x, o limite de $ f(x, y) $ é 1.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho ao longo do eixo y, onde $ x = 0 $.
Quando $ x = 0 $, a função fica:
Então, ao nos aproximarmos de $ (0,0) $ pelo eixo y, o limite de $ f(x, y) $ é $ \frac{1}{4} $.
Passo 5
Observamos que, ao se aproximar de $ (0,0) $ pelo eixo x, o limite é 1, enquanto pelo eixo y, o limite é $ \frac{1}{4} $. Como esses dois limites são diferentes, concluímos que o limite geral de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ não existe.
Resposta
O limite de $ f(x, y) = \frac{x^{2} - y{2}}{x{2} - 4y^{2}} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ não existe.