Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.6)
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(17.6)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função $ f(x, y) = \operatorname{arcsec}\left(\frac{x^{2}}{4} + y^{2}\right) $ e também representá-lo graficamente. Isso está dentro da matéria de funções de várias variáveis, especificamente envolvendo a função arco-secante. Para resolver, vamos precisar entender onde a expressão dentro do arco-secante está definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida, ou seja, que não causam problemas como divisão por zero ou logaritmos de números negativos.
Passo 3
Agora, vamos focar na função arco-secante, $ \operatorname{arcsec}(z) $. Essa função está definida apenas quando $ z \geq 1 $ ou $ z \leq -1 $. Isso significa que o argumento dentro de $ \operatorname{arcsec} $ precisa ser maior ou igual a 1 ou menor ou igual a -1 para a função estar definida.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função, temos que:
Observamos que $ \frac{x^{2}}{4} + y^{2} $ é sempre positivo ou zero, já que é uma soma de quadrados. Portanto, a condição $ \frac{x^{2}}{4} + y^{2} \leq -1 $ nunca será satisfeita. Assim, só precisamos considerar:
Passo 5
Essa desigualdade representa uma elipse. Para entender melhor, vamos reorganizar:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixo $ x $ e 1 ao longo do eixo $ y $.
Passo 6
Como a desigualdade é $ \geq 1 $, o domínio da função $ f(x, y) $ inclui todos os pontos que estão fora ou sobre essa elipse. Graficamente, isso significa que o domínio é a região que está além da elipse descrita acima.
Passo 7
Resumindo, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem:
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \operatorname{arcsec}\left(\frac{x^{2}}{4} + y^{2}\right) $ é dado por todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ \frac{x^{2}}{4} + y^{2} \geq 1 $. Graficamente, isso corresponde à região externa e à fronteira da elipse definida por $ \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 $.