Calcule:
A curva fechada r=a sen^3(theta3) é descrita quando theta percorre o intervalo [0,3 pi] e apresenta um laço. Considere a>0 e calcule o perímetro total da curva e o perímetro do laço.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro total e o perímetro do laço da curva polar
r = asin^3!l(theta3r), thetain[0,3pi],;a>0
O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, que usamos via a fórmula
L=integraltheta1^theta2raizr^2+l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro calculamos
drdtheta =ddthetal[asin^3!(tfractheta3)r] = acdot3sin^2!(tfractheta3)cos!(tfractheta3)cdot13 = a,sin^2!l(tfractheta3r)cos!l(tfractheta3r)
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r^2+l(tfracdrdthetar)^2 =a^2sin^6!l(tfractheta3r) +a^2sin^4!l(tfractheta3r)cos^2!l(tfractheta3r) =a^2sin^4!l(tfractheta3r),
e
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 = a,sin^2!l(tfractheta3r),
pois em [0,3pi] temos sin(theta/3)>=0.

Passo 3

O perímetro total é
Lrm total =integral0^3piasin^2!l(tfractheta3r),dtheta
Fazendo u=theta/3, dtheta=3,du, uin[0,pi], obtemos
Lrm total =3aintegral0^pisin^2(u),du =3acdotpi2 =3pi a2

Passo 4

Para achar o laço, procuramos auto‐interseções não triviais. Igualando dois pontos (r,theta) e (r,theta+2pi) com r=asin^3(theta/3) leva a
theta1=tfracpi2 e theta2=tfrac5pi2. Portanto o laço é descrito quando
theta varia de pi/2 a 5pi/2.

Passo 5

O comprimento do laço é
Lrm laço =integralpi/2^5pi/2asin^2!l(tfractheta3r),dtheta =3aintegralpi/6^5pi/6sin^2(u),du ç
Usando integralsin^2u,du=tfrac u2-tfracsin(2u)4, com u1=pi/6, u2=5pi/6, vem
Lrm laço =3al[l(tfrac u2-tfracsin2u4r)r],pi/6^,5pi/6 =3al(tfracpi3+tfracraiz34r) = api+3raiz3,a4 ç

Resposta

Perímetro total: 3pi a2
Perímetro do laço: api+3raiz3,a4

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