Calcule:
Comprimento, caso seja finito, da curva dada em coordenadas polares por:
r=e^2 theta para -infty<theta <= 0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva em coordenadas polares definida por r=e^2theta para -infty<theta<=0. Vamos usar o conteúdo de comprimento de arco em coordenadas polares, que requer a fórmula de comprimento em função de r(theta).

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares é
L = integraltheta1^theta2 raiz,r(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,,dtheta
Aqui theta1=-infty e theta2=0.

Passo 3

Calculamos r(theta), r'(theta) e seus quadrados:
r(theta)=e^2theta, r'(theta)=ddthetae^2theta=2e^2theta,
r(theta)^2 = e^4theta, l(r'(theta)r)^2 =4e^4theta

Passo 4

Somando os quadrados dentro da raiz:
r(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2 = e^4theta + 4e^4theta =5e^4theta,
portanto o integrando fica
raiz,5e^4theta, = raiz5,e^2theta

Passo 5

O comprimento é
L = integral-infty^0 raiz5,e^2theta,dtheta = raiz5 integral-infty^0 e^2theta,dtheta
Fazendo a integral,
integral e^2theta,dtheta = e^2theta2,
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L = raiz5,gl[e^2theta2gr]-infty^0 = raiz52l(e^0-0r) = raiz52

Resposta

L = raiz52

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