Mostre que o volume de um cilindro de raio 3 e altura 2 é igual a 18 pi. Obs: Usar a integral tripla com coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o volume de um cilindro de raio 3 e altura 2 é 18pi, usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar saber como expressar o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas e escolher os limites adequados para r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume vale
dV = r,dr,dtheta,dz
A região do cilindro é dada por
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 2
Portanto o volume é
V = integral triplaV dV = integralz=0^2 integraltheta=0^2pi integralr=0^3 r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
integralr=0^3 r,dr = r^22|0^3 = 92

Passo 4

Agora integramos em theta:
integraltheta=0^2pi 92,dtheta = 92cdot 2pi = 9pi

Passo 5

Por fim, integramos em z:
integralz=0^2 9pi,dz = 9pi cdot 2 = 18pi

Resposta

O volume do cilindro é 18pi.

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