Calcule:
Perímetro da cardióide:
.
Perímetro da cardióide:
Passo 1
O enunciado pede o perímetro da cardioide dada em coordenadas polares por
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento em coordenadas polares, que diz que
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
em relação a
:
Portanto o comprimento vira
Passo 3
Dentro da raiz temos
Logo
e
Passo 4
Usamos a identidade de meia-ângulo
então
Assim o integrando vira
Então
Passo 5
Fazendo a troca de variável
quando
theta vai de
0 a
2pi ,
varphi vai de
tfracpi4 a
tfrac5pi4 . Logo
Como
sinvarphi é positivo de
pi/4 a
pi e negativo de
pi a
5pi/4 , faz-se a integral por partes e encontra-se
Portanto
Passo 6
Concluímos que o perímetro completo da cardioide é