Calcule:
Perímetro da cardióide: r=a+a sen(theta), a>0.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro da cardioide dada em coordenadas polares por
r = a + asen(theta), a>0
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento em coordenadas polares, que diz que
L = integral0^2pi raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r em relação a theta:
r(theta) = al(1+senthetar), r'(theta) = acostheta
Portanto o comprimento vira
L = integral0^2pi raizl[a(1+sentheta)r]^2 + (acostheta)^2,dtheta

Passo 3

Dentro da raiz temos
a^2(1+sentheta)^2 + a^2cos^2theta = a^2l(1 + 2sentheta + sen^2theta + cos^2thetar) = a^2l(2 + 2senthetar) = 2a^2l(1+senthetar)
Logo
raizr^2 + (r')^2 = araiz2,raiz1+sentheta
e
L = araiz2integral0^2piraiz1+sentheta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de meia-ângulo
1+sintheta = 2sin^2l(theta2 + pi4r),
então
raiz1+sintheta = raiz2,l|sinl(tfractheta2+tfracpi4r)r|
Assim o integrando vira
araiz2,raiz1+sintheta = araiz2,raiz2,l|sin(tfractheta2+tfracpi4)r| = 2a,l|sin(tfractheta2+tfracpi4)r|
Então
L = integral0^2pi2a,l|sin(tfractheta2+tfracpi4)r|,dtheta

Passo 5

Fazendo a troca de variável
varphi = theta2 + pi4, dtheta = 2,dvarphi,
quando theta vai de 0 a 2pi, varphi vai de tfracpi4 a tfrac5pi4. Logo
L = 2a integralpi/4^5pi/4 2,l|sinvarphir|,dvarphi = 4a integralpi/4^5pi/4 l|sinvarphir|,dvarphi
Como sinvarphi é positivo de pi/4 a pi e negativo de pi a 5pi/4, faz-se a integral por partes e encontra-se
integralpi/4^5pi/4 l|sinvarphir|,dvarphi = 2
Portanto
L = 4a times 2 = 8a

Passo 6

Concluímos que o perímetro completo da cardioide é
boxed8a

Resposta

8a

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