Calcule a curva de rotação, i.e.
, para
uma massa que aumenta com o raio como
uma massa que aumenta com o raio como
Passo 1
O que o problema pede: calcular a curva de rotação, isto é
, para uma massa cujo perfil cumpre
.\n
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que o enunciado dá): cresce proporcionalmente a
(posso escrever isso como
com
constante de proporcionalidade). Também vamos assumir movimento circular de uma partícula teste em torno do centro e simetria esférica do sistema (isso é necessário para poder usar
como a massa interior ao raio
).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que o enunciado dá):
Passo 2
Equilíbrio de forças para órbita circular (a conta básica que sempre usamos): a força centrípeta sobre uma partícula de massa teste
que orbita de raio
com velocidade
é
. A força gravitacional que age sobre essa partícula devido à massa interior
é
, onde
é a constante gravitacional. Igualando as duas forças (pois a força gravitacional fornece exatamente a aceleração centrípeta na órbita circular) temos
Aqui explicando cada símbolo:
é a velocidade orbital que queremos,
é o raio da órbita,
é a massa da partícula teste (que vai cancelar),
é a constante gravitacional (
) e
é a massa total interior ao raio
.
Passo 3
Simplificação da expressão para obter a fórmula geral de
. Cancelamos
dos dois lados e multiplicamos por
, ficando
Tomando raiz quadrada,
Essa é a fórmula padrão: a velocidade circular em
é dada por
. (Observação didática: isso vale quando a contribuição gravitacional vem apenas da massa interior a
, condição garantida por simetria esférica — a chamada lei do casquilho/teorema da casca de Newton.)
Passo 4
Agora usamos a hipótese do enunciado:
cresce linearmente com
. Escrevemos isso como
onde
é uma constante com unidades de massa por comprimento (por exemplo
). Substituindo na fórmula geral:
Passo 5
Simplificação final da expressão: o fator
no numerador e no denominador cancelam, então
Portanto
é independente de
; a curva de rotação é plana (constante) enquanto o perfil
valer. Aqui
determina o valor da velocidade: se você souber a velocidade assintótica
, então
Comentário físico e didático: um perfil
corresponde a uma densidade declinando como
. Para ver isso, diferencie
:
. Mas também
, logo
Observação prática: esse modelo não pode valer até
sem consequência física (a massa total diverge), mas é uma boa descrição intermediária que explica curvas de rotação “planas” observadas em galáxias.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): se a velocidade constante observada é
, então
Com esse
a velocidade dada por
volta a ser
, confirmando consistência.