Calcule a curva de rotação, i.e. v(r), para
uma massa que aumenta com o raio como M(r) \sim r

Passo 1

O que o problema pede: calcular a curva de rotação, isto é v(r), para uma massa cujo perfil cumpre M(r)\sim r.\n
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que o enunciado dá): \,M(r) cresce proporcionalmente a r (posso escrever isso como M(r)=k\,r com k constante de proporcionalidade). Também vamos assumir movimento circular de uma partícula teste em torno do centro e simetria esférica do sistema (isso é necessário para poder usar M(r) como a massa interior ao raio r).

Passo 2

Equilíbrio de forças para órbita circular (a conta básica que sempre usamos): a força centrípeta sobre uma partícula de massa teste m que orbita de raio r com velocidade v é m\,v^{2}/r. A força gravitacional que age sobre essa partícula devido à massa interior M(r) é \,G\,m\,M(r)/r^{2}\,, onde G é a constante gravitacional. Igualando as duas forças (pois a força gravitacional fornece exatamente a aceleração centrípeta na órbita circular) temos
\frac{m\,v^{2}}{r}=\frac{G\,m\,M(r)}{r^{2}}.
Aqui explicando cada símbolo: \,v é a velocidade orbital que queremos, r é o raio da órbita, m é a massa da partícula teste (que vai cancelar), G é a constante gravitacional ( G\approx6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}) e M(r) é a massa total interior ao raio r.

Passo 3

Simplificação da expressão para obter a fórmula geral de v(r). Cancelamos m dos dois lados e multiplicamos por r, ficando
v^{2}=\frac{G\,M(r)}{r}.
Tomando raiz quadrada,
v(r)=\sqrt{\frac{G\,M(r)}{r}}.
Essa é a fórmula padrão: a velocidade circular em r é dada por \sqrt{G\,M(r)/r}. (Observação didática: isso vale quando a contribuição gravitacional vem apenas da massa interior a r, condição garantida por simetria esférica — a chamada lei do casquilho/teorema da casca de Newton.)

Passo 4

Agora usamos a hipótese do enunciado: M(r) cresce linearmente com r. Escrevemos isso como
M(r)=k\,r,
onde k é uma constante com unidades de massa por comprimento (por exemplo \mathrm{kg\,m^{-1}}). Substituindo na fórmula geral:
v(r)=\sqrt{\frac{G\,(k\,r)}{r}}.

Passo 5

Simplificação final da expressão: o fator r no numerador e no denominador cancelam, então
v(r)=\sqrt{G\,k}.
Portanto v(r) é independente de r; a curva de rotação é plana (constante) enquanto o perfil M(r)=k\,r valer. Aqui k determina o valor da velocidade: se você souber a velocidade assintótica v_{\infty}, então
k=\frac{v_{\infty}^{2}}{G}.
Comentário físico e didático: um perfil M(r)\propto r corresponde a uma densidade declinando como r^{-2}. Para ver isso, diferencie M(r): dM/dr=k. Mas também dM/dr=4\pi r^{2}\rho(r), logo
\rho(r)=\frac{k}{4\pi r^{2}}\propto r^{-2}.
Observação prática: esse modelo não pode valer até r\to\infty sem consequência física (a massa total diverge), mas é uma boa descrição intermediária que explica curvas de rotação “planas” observadas em galáxias.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): se a velocidade constante observada é v_{\infty}=200\\ \mathrm{km\,s^{-1}}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, então
k=\frac{v_{\infty}^{2}}{G}=\frac{(2{,}0\times10^{5})^{2}}{6{,}674\times10^{-11}}\approx6{,}0\times10^{20}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}}.
Com esse k a velocidade dada por \sqrt{Gk} volta a ser 200\\ \mathrm{km\,s^{-1}}, confirmando consistência.

Resposta

v(r)=\sqrt{G\,k}=\text{constante}

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