A densidade crítica do universo é dada por \rho_{c}=3 H_{0}^{2} /(8 \pi G). Calcule a densidade crítica em unidades cgs para uma constante de Hubble H_{0}=72 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{Mpc}^{-1} .1 \mathrm{pc}=3,26 anos-luz.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade crítica do universo, dada pela fórmula \rho_{c}=3 H_{0}^{2}/(8\pi G), usando H_{0}=72\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}. As informações relevantes fornecidas são:
  • A expressão a ser usada: \rho_{c}=\dfrac{3H_{0}^{2}}{8\pi G}.
  • O valor de H_{0}: \;72\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}.
  • A conversão dada: \;1\\ \mathrm{pc}=3{,}26\\ \text{anos-luz}.
  • Precisamos entregar o resultado em unidades cgs, ou seja, em \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
    Não há outras informações no enunciado; vou usar constantes físicas conhecidas (velocidade da luz para converter ano-luz e o valor de G no sistema cgs).

Passo 2

Vou explicar a fórmula e as unidades envolvidas, devagarinho. A fórmula é
\rho_{c}=\frac{3H_{0}^{2}}{8\pi G}.
O que cada símbolo significa:
  • \rho_{c} é a densidade crítica (queremos em \mathrm{g\\ cm^{-3}}).
  • H_{0} é a constante de Hubble (tem dimensões de \mathrm{time^{-1}}; para usar na fórmula precisamos em \mathrm{s^{-1}}).
  • G é a constante gravitacional, que em cgs vale aproximadamente \;G=6{,}67430\times10^{-8}\\ \mathrm{cm^{3}\\ g^{-1}\\ s^{-2}}.
    Explicação das unidades: como H_{0} precisa estar em \mathrm{s^{-1}}, vou converter H_{0}=72\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}} para \mathrm{s^{-1}}. Para isso preciso do comprimento de 1\\ \mathrm{Mpc} em centímetros.

Passo 3

Converter 1\\ \mathrm{pc} para centímetros usando a informação do enunciado \;1\\ \mathrm{pc}=3{,}26\\ \text{anos-luz} e a definição de ano-luz. Primeiro, um ano em segundos:
1\\ \text{ano} = 365{,}25\times24\times3600 = 31\,557\,600\\ \mathrm{s}.
A velocidade da luz em cgs é
c = 2{,}99792458\times10^{10}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}}.
Logo um ano-luz em centímetros é
1\\ \text{ly} = c\times(1\\ \text{ano}) = 2{,}99792458\times10^{10}\times31\,557\,600 = 9{,}4607304725808\times10^{17}\\ \mathrm{cm}.
Agora uso 1\\ \mathrm{pc}=3{,}26\\ \text{ly} (dado do enunciado), então
1\\ \mathrm{pc} = 3{,}26\times 9{,}4607304725808\times10^{17} = 3{,}084198134061339\times10^{18}\\ \mathrm{cm}.
Finalmente,
1\\ \mathrm{Mpc}=10^{6}\\ \mathrm{pc}=3{,}084198134061339\times10^{24}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Converter H_{0} para \mathrm{s^{-1}}. Dado \;H_{0}=72\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}, primeiro transformar \mathrm{km\\ s^{-1}} em \mathrm{cm\\ s^{-1}}:
72\\ \mathrm{km\\ s^{-1}} = 72\times10^{5}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}} = 7{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}}.
Agora dividir pela distância de 1\\ \mathrm{Mpc} em cm:
H_{0} = \frac{7{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}}}{3{,}084198134061339\times10^{24}\\ \mathrm{cm}} = 2{,}3340605\times10^{-18}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular 3H_{0}^{2}. Primeiro H_{0}^{2}:
H_{0}^{2} = (2{,}3340605\times10^{-18})^{2} = 5{,}4491398\times10^{-36}\\ \mathrm{s^{-2}}.
Multiplicando por 3:
3H_{0}^{2} = 1{,}63474194\times10^{-35}\\ \mathrm{s^{-2}}.

Passo 6

Calcular o denominador 8\pi G com G=6{,}67430\times10^{-8}\\ \mathrm{cm^{3}\\ g^{-1}\\ s^{-2}}:
8\pi G = 8\times\pi\times6{,}67430\times10^{-8} = 1{,}6771247\times10^{-6}\\ \mathrm{cm^{3}\\ g^{-1}\\ s^{-2}}.

Passo 7

Dividir numerador por denominador para obter \rho_{c}:
\rho_{c}=\frac{3H_{0}^{2}}{8\pi G} = \frac{1{,}63474194\times10^{-35}}{1{,}6771247\times10^{-6}} = 9{,}7494\times10^{-30}\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
Arredondando de forma apropriada (duas casas significativas razoáveis dado H_{0}=72 com dois algarismos),
\rho_{c}\approx 9{,}75\times10^{-30}\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.

Resposta

9{,}75\times10^{-30}\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}

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