Escreva a curva de Planck B_{\nu} em termos de energia B_{\epsilon} onde \epsilon=h \nu é a energia de um fóton, e a partir de B_{\epsilon}, em termos do número de fótons emitidos por segundo \dot{N}_{\epsilon}\left[\mathrm{m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{eV}^{-1} \mathrm{sr}^{-1}\right].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (i) escrever a curva de Planck B_{\nu} em termos da energia do fóton \epsilon = h\nu, ou seja encontrar B_{\epsilon}(\epsilon); (ii) a partir de B_{\epsilon} obter a distribuição em número de fótons por segundo por unidade de área, por unidade de energia e por unidade de ângulo sólido, \dot{N}_{\epsilon} com unidades \mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{eV}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1}.\n\nInformações fornecidas / úteis que vou usar:\n- A função de Planck na forma usual (densidade espectral por frequência) é\n B_{\nu}(T)=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)-1}.\n- A energia de um fóton é \epsilon=h\nu.\n- Relação entre elementos de medida: d\epsilon = h\,d\nu.\n- Constantes físicas que aparecem: h (constante de Planck), c (velocidade da luz), k (constante de Boltzmann).\n- Para converter entre joule e electronvolt usarei 1\,\mathrm{eV}=e_{\mathrm{V}} com e_{\mathrm{V}}=1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J}.\n\nA partir daqui eu vou transformar passo a passo, explicando a razão física e matemática de cada transformação (não assumo que você já saiba as mudanças de variável entre densidades espectrais nem a diferença entre fluxo de energia e fluxo de fótons).

Passo 2

Relação entre densidades espectrais (intuição + cálculo): quando mudamos a variável de frequência \nu para energia \epsilon devemos preservar a energia que passa por uma área numa banda pequena. Ou seja, a energia emitida numa faixa [\,\nu,\nu+d\nu\,] é a mesma que na faixa correspondente [\,\epsilon,\epsilon+d\epsilon\,]. Matematicamente,
B_{\nu}(T)\,d\nu = B_{\epsilon}(T)\,d\epsilon.
Como \epsilon=h\nu e portanto d\epsilon = h\,d\nu, isolamos B_{\epsilon}:
B_{\epsilon}(T)=B_{\nu}(T)\,\frac{d\nu}{d\epsilon}=B_{\nu}(T)\,\frac{1}{h}.
Isso é uma regra geral: ao trocar a variável em uma densidade espectral, aparece o jacobiano d\nu/d\epsilon.

Passo 3

Agora aplico essa relação à forma explícita de B_{\nu}. Substituo \nu=\epsilon/h na fórmula de Planck e multiplico por 1/h conforme achado no passo anterior.\n\nComeço pela expressão de B_{\nu} com \nu=\epsilon/h:
B_{\nu}(T)=\frac{2h\left(\dfrac{\epsilon}{h}\right)^{3}}{c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1} =\frac{2\epsilon^{3}}{h^{2}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1}.
Agora divido por h para obter B_{\epsilon}:
B_{\epsilon}(T)=\frac{B_{\nu}(T)}{h}=\frac{2\epsilon^{3}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1}.
Explicação das grandezas: aqui \epsilon está em joules se você usar h e k nas suas unidades SI; a unidade de B_{\epsilon} é \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\mathrm{J}^{-1} (energia por tempo por área por sr por joule).

Passo 4

Interpretação física e mudança para número de fótons: B_{\epsilon}(T)\,d\epsilon dá a energia emitida por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de sólido e pela banda de energia [\,\epsilon,\epsilon+d\epsilon\,]. Se cada fóton nessa banda tem energia \epsilon, o número de fótons emitidos por essa banda (por unidade de área, tempo e sr) é
\dot{N}_{\epsilon}(T)\,d\epsilon=\frac{B_{\epsilon}(T)\,d\epsilon}{\epsilon}.
Então, dividindo por d\epsilon,
\dot{N}_{\epsilon}(T)=\frac{B_{\epsilon}(T)}{\epsilon}.

Passo 5

Substituo a expressão de B_{\epsilon} obtida no passo 3 e simplifico para obter a taxa de fótons por unidade de energia medida em joules:
\dot{N}_{\epsilon}(T)=\frac{1}{\epsilon}\left(\frac{2\epsilon^{3}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1}\right) =\frac{2\epsilon^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1}.
Unidades dessa forma: \mathrm{photons}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{J}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1}.

Passo 6

O enunciado pede \dot{N}_{\epsilon} com unidade por \mathrm{eV} em vez de por joule. Há duas maneiras: (A) converter a variável de energia para \epsilon_{\rm eV} (energia medida em eV) ou (B) multiplicar a densidade por joule por d\epsilon_{J}/d\epsilon_{\rm eV}=e_{\mathrm{V}}. Vou escrever a forma explícita em função de \epsilon_{\rm eV} (energia em eV). Como \epsilon_{J}=e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV} com e_{\mathrm{V}}=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}, substituo na expressão de \dot{N} e multiplico pelo jacobiano d\epsilon_{J}/d\epsilon_{\rm eV}=e_{\mathrm{V}}:\n\nPrimeiro, em joules:\n \dot{N}_{\epsilon_J}(T)=\frac{2\epsilon_{J}^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon_{J}}{kT}\right)-1}.\nAgora passo para por eV:
\dot{N}_{\epsilon_{\rm eV}}(T) =\dot{N}_{\epsilon_J}(T)\cdot\frac{d\epsilon_{J}}{d\epsilon_{\rm eV}} =\frac{2\,(e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV})^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV}}{kT}\right)-1}\;e_{\mathrm{V}}.
Reorganizando os fatores de e_{\mathrm{V}}
\dot{N}_{\epsilon_{\rm eV}}(T)=\frac{2\,e_{\mathrm{V}}^{3}\,\epsilon_{\rm eV}^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV}}{kT}\right)-1},
que tem unidades \mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{eV}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1} como pedido. Aqui \epsilon_{\rm eV} é a energia numérica medida em eV.

Resposta

B_{\epsilon}(T)=\frac{2\epsilon^{3}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon}{kT}\right)-1}
\dot{N}_{\epsilon_{\rm eV}}(T)=\frac{2\,e_{\mathrm{V}}^{3}\,\epsilon_{\rm eV}^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV}}{kT}\right)-1},\qquad e_{\mathrm{V}}=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}

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