Escreva a curva de Planck B_{\nu} em termos de energia B_{\epsilon} onde \epsilon=h \nu é a energia de um fóton, e a partir de B_{\epsilon}, em termos do número de fótons emitidos por segundo \dot{N}_{\epsilon}\left[\mathrm{m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{eV}^{-1} \mathrm{sr}^{-1}\right].
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (i) escrever a curva de Planck B_{\nu} em termos da energia do fóton \epsilon = h\nu, ou seja encontrar B_{\epsilon}(\epsilon); (ii) a partir de B_{\epsilon} obter a distribuição em número de fótons por segundo por unidade de área, por unidade de energia e por unidade de ângulo sólido, \dot{N}_{\epsilon} com unidades \mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{eV}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1}.\n\nInformações fornecidas / úteis que vou usar:\n- A função de Planck na forma usual (densidade espectral por frequência) é\nB_{\nu}(T)=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)-1}.\n- A energia de um fóton é \epsilon=h\nu.\n- Relação entre elementos de medida: d\epsilon = h\,d\nu.\n- Constantes físicas que aparecem: h (constante de Planck), c (velocidade da luz), k (constante de Boltzmann).\n- Para converter entre joule e electronvolt usarei 1\,\mathrm{eV}=e_{\mathrm{V}} com e_{\mathrm{V}}=1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J}.\n\nA partir daqui eu vou transformar passo a passo, explicando a razão física e matemática de cada transformação (não assumo que você já saiba as mudanças de variável entre densidades espectrais nem a diferença entre fluxo de energia e fluxo de fótons).
Passo 2
Relação entre densidades espectrais (intuição + cálculo): quando mudamos a variável de frequência \nu para energia \epsilon devemos preservar a energia que passa por uma área numa banda pequena. Ou seja, a energia emitida numa faixa [\,\nu,\nu+d\nu\,] é a mesma que na faixa correspondente [\,\epsilon,\epsilon+d\epsilon\,]. Matematicamente,
B_{\nu}(T)\,d\nu = B_{\epsilon}(T)\,d\epsilon.
Como \epsilon=h\nu e portanto d\epsilon = h\,d\nu, isolamos B_{\epsilon}:
Isso é uma regra geral: ao trocar a variável em uma densidade espectral, aparece o jacobiano d\nu/d\epsilon.
Passo 3
Agora aplico essa relação à forma explícita de B_{\nu}. Substituo \nu=\epsilon/h na fórmula de Planck e multiplico por 1/h conforme achado no passo anterior.\n\nComeço pela expressão de B_{\nu} com \nu=\epsilon/h:
Explicação das grandezas: aqui \epsilon está em joules se você usar h e k nas suas unidades SI; a unidade de B_{\epsilon} é \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\mathrm{J}^{-1} (energia por tempo por área por sr por joule).
Passo 4
Interpretação física e mudança para número de fótons: B_{\epsilon}(T)\,d\epsilon dá a energia emitida por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de sólido e pela banda de energia [\,\epsilon,\epsilon+d\epsilon\,]. Se cada fóton nessa banda tem energia \epsilon, o número de fótons emitidos por essa banda (por unidade de área, tempo e sr) é
Unidades dessa forma: \mathrm{photons}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{J}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1}.
Passo 6
O enunciado pede \dot{N}_{\epsilon} com unidade por \mathrm{eV} em vez de por joule. Há duas maneiras: (A) converter a variável de energia para \epsilon_{\rm eV} (energia medida em eV) ou (B) multiplicar a densidade por joule por d\epsilon_{J}/d\epsilon_{\rm eV}=e_{\mathrm{V}}. Vou escrever a forma explícita em função de \epsilon_{\rm eV} (energia em eV). Como \epsilon_{J}=e_{\mathrm{V}}\epsilon_{\rm eV} com e_{\mathrm{V}}=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}, substituo na expressão de \dot{N} e multiplico pelo jacobiano d\epsilon_{J}/d\epsilon_{\rm eV}=e_{\mathrm{V}}:\n\nPrimeiro, em joules:\n\dot{N}_{\epsilon_J}(T)=\frac{2\epsilon_{J}^{2}}{h^{3}c^{2}}\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{\epsilon_{J}}{kT}\right)-1}.\nAgora passo para por eV:
que tem unidades \mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{eV}^{-1}\,\mathrm{sr}^{-1} como pedido. Aqui \epsilon_{\rm eV} é a energia numérica medida em eV.