Calcule a curva de rotação, i.e.
, para
uma massa concentrada de
uma massa concentrada de
Passo 1
O enunciado é curto e direto. O que ele dá e o que pede:
- Dado: uma massa concentrada (ou seja, massa puntiforme)
. - Pedido: a curva de rotação
, isto é, a velocidade orbital circular em função do raio ao redor dessa massa concentrada.
Informações relevantes que eu vou usar (fornecidas pelo enunciado):
- A massa total que atua gravitacionalmente é
. - A massa está concentrada (modelo de ponto), então fora do ponto a força gravitacional é a de um corpo pontual.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (explicadas devagarinho, como prometi):
- Gravidade newtoniana: a força gravitacional entre uma massa central
e uma pequena massa de prova situada a uma distância é dada por
Aqui
é a constante gravitacional universal,
é a massa central (no nosso caso
),
é a massa da partícula/prova (que vai se cancelar), e
é a distância ao centro.
- Movimento circular: para uma órbita circular de raio
a massa de prova precisa de uma força centrípeta
onde
é a velocidade orbital (o que queremos) e
é a massa da partícula de prova.
A ideia para achar
é simplesmente igualar
: a gravidade fornece a força que mantém a órbita circular.
Passo 3
Derivação algébrica (passo a passo, sem pular nada):
- Igualando as forças:
- Cancelamos a massa de prova
(ela aparece dos dois lados) e simplificamos um fator :
- Tomando raiz quadrada (velocidade é positiva):
Explicação do resultado: para uma massa puntiforme a velocidade orbital diminui com
— é a famosa queda kepleriana (ou comportamento “Kepleriano”): mais longe = menos velocidade, em forma de raiz.
Passo 4
Agora vamos colocar números para o caso
e transformar para unidades práticas (velocidade em
e raio em kiloparsec, uma unidade comum em astronomia).
- Existe uma forma muito prática de escrever
em unidades astrofísicas:
Isto significa que, se usarmos
em
e
em
, então
sai direto em
.
- Substituindo
nessa forma:
onde escrevi
para enfatizar que
está em kpc.
- Simplificando os números dentro da raiz:
Logo
- Podemos escrever de forma mais intuitiva (tirando a raiz do numerador):
pois
.
Passo 5
Exemplos numéricos (para fixar e para usar na prova sem calculadora: arredonde um pouco se precisar):
- Se
, então
- Se
(aproximadamente a distância solar ao centro da Via Láctea; só como referência),
- Observação importante (dica de prova): para
muito pequeno a fórmula diverge (vai para infinito) — isso é artefato do modelo de massa puntiforme; na prática as massas têm tamanho e o comportamento real muda perto do centro.
Passo 6
Outra forma (em unidades SI) — para quem prefere ver as contas em metros e segundos:
- Valor numérico do produto
para :
- Então, se
estiver em metros,
Mas na prática astronômica a forma em
com
em kpc (Passo 4) é muito mais conveniente.
Passo 7
Interpretação física final (motivação para lembrar na prova):
- Resultado geral para ponto:
. Em galáxias reais, observações frequentemente mostram curvas de rotação quase planas ( quase constante com ), o que difere desse modelo e foi uma das evidências para matéria escura. Mas para um ponto massivo isolado a resposta é a deduzida acima.