Calcule a curva de rotação, i.e. v(r), para
uma massa concentrada de 10^{10} \mathrm{M}_{\odot}

Passo 1

O enunciado é curto e direto. O que ele dá e o que pede:
  • Dado: uma massa concentrada (ou seja, massa puntiforme) M=10^{10}\,M_{\odot}.
  • Pedido: a curva de rotação v(r), isto é, a velocidade orbital circular em função do raio r ao redor dessa massa concentrada.
Informações relevantes que eu vou usar (fornecidas pelo enunciado):
  • A massa total que atua gravitacionalmente é M=10^{10}\,M_{\odot}.
  • A massa está concentrada (modelo de ponto), então fora do ponto a força gravitacional é a de um corpo pontual.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (explicadas devagarinho, como prometi):
  • Gravidade newtoniana: a força gravitacional entre uma massa central M e uma pequena massa de prova m situada a uma distância r é dada por
F_{\text{grav}} = \frac{G M m}{r^{2}}.
Aqui G é a constante gravitacional universal, M é a massa central (no nosso caso 10^{10}M_{\odot}), m é a massa da partícula/prova (que vai se cancelar), e r é a distância ao centro.
  • Movimento circular: para uma órbita circular de raio r a massa de prova precisa de uma força centrípeta
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde v é a velocidade orbital (o que queremos) e m é a massa da partícula de prova.
A ideia para achar v(r) é simplesmente igualar F_{\text{grav}}=F_{\text{cent}}: a gravidade fornece a força que mantém a órbita circular.

Passo 3

Derivação algébrica (passo a passo, sem pular nada):
  • Igualando as forças:
\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}.
  • Cancelamos a massa de prova m (ela aparece dos dois lados) e simplificamos um fator r:
\frac{G M}{r^{2}} = \frac{v^{2}}{r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{G M}{r} = v^{2}.
  • Tomando raiz quadrada (velocidade é positiva):
v(r) = \sqrt{\frac{G M}{r}}.
Explicação do resultado: para uma massa puntiforme a velocidade orbital diminui com r^{-1/2} — é a famosa queda kepleriana (ou comportamento “Kepleriano”): mais longe = menos velocidade, em forma de raiz.

Passo 4

Agora vamos colocar números para o caso M=10^{10}M_{\odot} e transformar para unidades práticas (velocidade em \mathrm{km\\ s^{-1}} e raio em kiloparsec, uma unidade comum em astronomia).
  • Existe uma forma muito prática de escrever G em unidades astrofísicas:
G \approx 4{,}30091\times 10^{-6}\\ \frac{\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km/s})^{2}}{M_{\odot}}.
Isto significa que, se usarmos M em M_{\odot} e r em \mathrm{kpc}, então v sai direto em \mathrm{km\\ s^{-1}}.
  • Substituindo M=10^{10}M_{\odot} nessa forma:
v(r) = \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}30091\times 10^{-6}\;(\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km/s})^{2}/M_{\odot})\times 10^{10}\,M_{\odot}}{r_{\mathrm{kpc}}}}
onde escrevi r_{\mathrm{kpc}} para enfatizar que r está em kpc.
  • Simplificando os números dentro da raiz:
4{,}30091\times 10^{-6}\times 10^{10} = 4{,}30091\times 10^{4} = 43009{,}1.
Logo
v(r)=\sqrt{\frac{43009{,}1}{r_{\mathrm{kpc}}}}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}.
  • Podemos escrever de forma mais intuitiva (tirando a raiz do numerador):
v(r)\approx \frac{207{,}4}{\sqrt{r_{\mathrm{kpc}}}}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}},
pois \sqrt{43009{,}1}\approx 207{,}4.

Passo 5

Exemplos numéricos (para fixar e para usar na prova sem calculadora: arredonde um pouco se precisar):
  • Se r=1\\ \mathrm{kpc}, então
v(1\\ \mathrm{kpc})\approx \frac{207{,}4}{\sqrt{1}} \approx 207{,}4\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}.
  • Se r=8\\ \mathrm{kpc} (aproximadamente a distância solar ao centro da Via Láctea; só como referência),
v(8\\ \mathrm{kpc})\approx \frac{207{,}4}{\sqrt{8}} \approx \frac{207{,}4}{2{,}828} \approx 73{,}3\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}.
  • Observação importante (dica de prova): para r muito pequeno a fórmula diverge (vai para infinito) — isso é artefato do modelo de massa puntiforme; na prática as massas têm tamanho e o comportamento real muda perto do centro.

Passo 6

Outra forma (em unidades SI) — para quem prefere ver as contas em metros e segundos:
  • Valor numérico do produto G M para M=10^{10}M_{\odot}:
G M = G \times 10^{10} M_{\odot} \approx 1{,}3271244\times 10^{30}\\ \mathrm{m^{3}\\ s^{-2}}.
  • Então, se r estiver em metros,
v(r)=\sqrt{\frac{1{,}3271244\times 10^{30}}{r}}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Mas na prática astronômica a forma em \mathrm{km\\ s^{-1}} com r em kpc (Passo 4) é muito mais conveniente.

Passo 7

Interpretação física final (motivação para lembrar na prova):
  • Resultado geral para ponto: v(r)\propto r^{-1/2}. Em galáxias reais, observações frequentemente mostram curvas de rotação quase planas ( v quase constante com r ), o que difere desse modelo e foi uma das evidências para matéria escura. Mas para um ponto massivo isolado a resposta é a deduzida acima.

Resposta

\displaystyle v(r)=\sqrt{\frac{G M}{r}}\n
\displaystyle \text{Para }M=10^{10}M_{\odot}:\;v(r)\approx \frac{207{,}4}{\sqrt{r_{\mathrm{kpc}}}}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}, onde r_{\mathrm{kpc}} é r em kpc.

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