Calcule a curvatura κ(t) de cada uma das curvas vetoriais a seguir. (Dica: use a fórmula kappa(t)=|v(t) times a(t)||v(t)|^3).
(b) r(t)=t i+t j+(1+t^2) k

Passo 1

O enunciado pede a curvatura kappa(t) da curva
r(t)=t,i+t,j+l(1+t^2r)k
usando a fórmula
kappa(t)=|v(t)timesa(t)||v(t)|^3,
onde v(t)=r'(t) e a(t)=r''(t).

Passo 2

Calculemos as derivadas primeira e segunda:
v(t)=r'(t) =ddtl(t,t,1+t^2r) =(1,1,2t),
a(t)=r''(t) =ddt(1,1,2t) =(0,0,2)

Passo 3

Formemos o produto vetorial e sua norma:
v(t)timesa(t) = i & j & k 1 & 1 & 2t 0 & 0 & 2 =2,i-2,j+0,k =(2,-2,0)
Logo,
|v(t)timesa(t)| =raiz2^2+(-2)^2+0^2 =raiz8 =2raiz2

Passo 4

Agora a norma de v(t) ao cubo:
|v(t)| =raiz1^2+1^2+(2t)^2 =raiz2+4t^2,
|v(t)|^3 =l(raiz2+4t^2r)^3 =(2+4t^2)^3/2
Substituindo na fórmula de kappa(t):
kappa(t) =2raiz2(2+4t^2)^3/2

Passo 5

Podemos simplificar fatorando 2 em 2+4t^2=2(1+2t^2):
(2+4t^2)^3/2 =l(2(1+2t^2)r)^3/2 =2^3/2(1+2t^2)^3/2 =2raiz2,(1+2t^2)^3/2
Então
kappa(t) =2raiz22raiz2,(1+2t^2)^3/2 =1(1+2t^2)^3/2

Resposta

boxedkappa(t)=1l(1+2t^2r)^3/2

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