(9) y^{\prime}=(1-2 x) y^{2},
y(0)=-1 / 6

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de separação de variáveis
y' = (1-2x),y^2
com condição inicial y(0)=-tfrac16. Vamos resolver separando as variáveis, integrando e aplicando a condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy^2 = (1-2x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral(1-2x),dx
No lado esquerdo fica
integral y^-2,dy = -,1y + C1,
e no direito
integral(1-2x),dx = x - x^2 + C2
Juntando as constantes ( C=C2-C1), obtemos
-,1y = x - x^2 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=-tfrac16. Substituindo x=0 e y=-tfrac16 em -1/y = x - x^2 + C temos
-1-1/6 = 0 - 0 + C Longrightarrow 6 = C

Passo 5

Com C=6, a relação fica
-,1y = x - x^2 + 6
Invertendo e isolando y, a solução particular é
y(x) = -1,x - x^2 + 6,

Resposta

y(x) = -1,x - x^2 + 6,

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