Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x)=1|x times(1,1,-1)|, x in R^3

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função
f(x)=1|,xtimes(1,1,-1)|, xinR^3
é contínua. Este é um problema de continuidade de funções definidas por operações vetoriais e norma em R^3. Vamos usar que produtos vetoriais e normas são funções contínuas, e que a razão de duas funções contínuas só é contínua onde o denominador não se anula.

Passo 2

Identificamos o denominador de f como
g(x)=|,xtimes(1,1,-1)|
Sabemos que o produto vetorial xmapsto xtimes(1,1,-1) é contínuo em R^3 e que a norma é contínua. Logo g é contínua em todo R^3. A única possível descontinuidade de f ocorre onde g(x)=0.

Passo 3

Resolvemos a equação
|,xtimes(1,1,-1)|=0
A norma de um vetor é zero exatamente quando esse vetor é o vetor nulo. Então
xtimes(1,1,-1)=0
se, e somente se, x é paralelo a (1,1,-1). Em termos de coordenadas, isso significa
x = lambda,(1,1,-1) para algum lambdainR

Passo 4

Portanto g(x) só se anula quando x pertence à reta
L = lambda,(1,1,-1)mid lambdainR
Em todos os outros pontos de R^3, temos g(x)neq0 e, como f é quociente de funções contínuas com denominador não-nulo, f é contínua.

Resposta

f é contínua em
R^3 setminus lambda,(1,1,-1)mid lambdainR

Exercícios relacionados