Calcule a curvatura κ(t) de cada uma das curvas vetoriais a seguir. (Dica: use a fórmula kappa(t)=|v(t) times a(t)||v(t)|^3).
(a) r(t)=t^2 i+t k

Passo 1

O enunciado pede a curvatura kappa(t) da curva r(t)=t^2i+tk no espaço. Vamos usar a fórmula
kappa(t)=|v(t)times a(t)||v(t)|^3
onde v(t)=r'(t) e a(t)=r''(t).

Passo 2

Calcular as derivadas. Derivando coordenada a coordenada, obtemos
v(t)=r'(t)=2t,i+0,j+1,k,
a(t)=r''(t)=2,i+0,j+0,k

Passo 3

Computar o produto vetorial v(t)times a(t). Fazendo o determinante,
v(t)times a(t) =i&j&k2t&0&12&0&0 =2,j
Então
|v(t)times a(t)|=2

Passo 4

Calcular a norma de v(t). Temos
|v(t)|=raiz(2t)^2+0^2+1^2=raiz4t^2+1

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura,
kappa(t) =2l(raiz4t^2+1r)^3 =2l(4t^2+1r)^3/2

Resposta

kappa(t)=2(4t^2+1)^3/2.

Exercícios relacionados