Calcule a curvatura da curva dada por \alpha(t)=\left(t, t^{2}, e^{t}\right) no ponto (0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha(t)=\left(t,\,t^{2},\,e^{t}\right) e pede a curvatura no ponto (0,0,1). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\alpha(t)=\left(t,\,t^{2},\,e^{t}\right).
O ponto pedido é (0,0,1). Note que esse ponto corresponde ao parâmetro \,t=0, pois \alpha(0)=(0,0,e^{0})=(0,0,1). A missão: calcular a curvatura de \alpha em t=0.

Passo 2

Vou usar a fórmula prática para curvatura de uma curva regular em \mathbb{R}^{3}:
\kappa(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Explicando a fórmula e cada símbolo:
  • \alpha'(t) é o vetor velocidade, isto é, a derivada de \alpha em relação a t.
  • \alpha''(t) é a derivada segunda (vetor aceleração).
  • \times é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3; o resultado é um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana de um vetor: para v=(v_1,v_2,v_3) temos \|v\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
    A razão dessa fórmula: mede quanto a direção do vetor velocidade muda por unidade de comprimento de arco; a forma com o cross product evita ter que parametrizar pela distância de arco.

Passo 3

Calculemos \alpha'(t) componente a componente. Para \alpha(t)=\left(t,\,t^{2},\,e^{t}\right):
\alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^{2},\;\frac{d}{dt}e^{t}\right)=\left(1,\;2t,\;e^{t}\right).
Justificativa: a derivada de t é 1, de t^{2} é 2t (regra do poder), e de e^{t} é e^{t}.

Passo 4

Calculemos a segunda derivada \alpha''(t):
\alpha''(t)=\left(\frac{d}{dt}1,\;\frac{d}{dt}2t,\;\frac{d}{dt}e^{t}\right)=\left(0,\;2,\;e^{t}\right).
Explicação: derivada de constante 1 é 0; derivada de 2t é 2; derivada de e^{t} é e^{t}.

Passo 5

Avalie \alpha'(t) e \alpha''(t) em t=0:
\alpha'(0)=\left(1,\;0,\;1\right), \qquad \alpha''(0)=\left(0,\;2,\;1\right).

Passo 6

Calcule o produto vetorial \alpha'(0)\times\alpha''(0). Para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Aplicando a a=\alpha'(0)=(1,0,1) e b=\alpha''(0)=(0,2,1):
\alpha'(0)\times\alpha''(0)=\big(0\cdot1-1\cdot2,\;1\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot2-0\cdot0\big)=(-2,\,-1,\,2).

Passo 7

Calcule a norma do cross product:
\|\alpha'(0)\times\alpha''(0)\|=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 8

Calcule a norma de \alpha'(0):
\|\alpha'(0)\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.

Passo 9

Agora aplique a fórmula da curvatura em t=0:
\kappa(0)=\frac{\|\alpha'(0)\times\alpha''(0)\|}{\|\alpha'(0)\|^{3}} =\frac{3}{\big(\sqrt{2}\,\big)^{3}}.
Simplificando \big(\sqrt{2}\big)^{3}=2\sqrt{2}, obtemos
\kappa(0)=\frac{3}{2\sqrt{2}}.
Se quiser racionalizar o denominador:
\kappa(0)=\frac{3\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\displaystyle \kappa(0)=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}

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