Calcule a curvatura da curva dada por
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede a curvatura no ponto
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
O ponto pedido é
. Note que esse ponto corresponde ao parâmetro
, pois
. A missão: calcular a curvatura de
em
.
Passo 2
Vou usar a fórmula prática para curvatura de uma curva regular em
:
Explicando a fórmula e cada símbolo:
-
é o vetor velocidade, isto é, a derivada de em relação a . -
é a derivada segunda (vetor aceleração). -
é o produto vetorial (cross product) em ; o resultado é um vetor perpendicular aos dois vetores originais. -
é a norma euclidiana de um vetor: para temos .
A razão dessa fórmula: mede quanto a direção do vetor velocidade muda por unidade de comprimento de arco; a forma com o cross product evita ter que parametrizar pela distância de arco.
Passo 3
Calculemos
componente a componente. Para
:
Justificativa: a derivada de
é
, de
é
(regra do poder), e de
é
.
Passo 4
Calculemos a segunda derivada
:
Explicação: derivada de constante
é
; derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 5
Avalie
e
em
:
Passo 6
Calcule o produto vetorial
. Para
e
,
Aplicando a
e
:
Passo 7
Calcule a norma do cross product:
Passo 8
Calcule a norma de
:
Passo 9
Agora aplique a fórmula da curvatura em
:
Simplificando
, obtemos
Se quiser racionalizar o denominador: