Calcule a derivada da funçāo f(x, y)=\operatorname{sen} x^{2}-3 y^{3} no ponto P(0,2) e na direção de v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada direcional no ponto P na direção de v. Especificamente:
  • Função: f(x,y)=\sin(x^{2})-3y^{3}.
  • Ponto: P=(0,2).
  • Direção: v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
    O que se pede: calcular a derivada de f em P na direção de v (a derivada direcional D_{v}f(P)).

Passo 2

Escolha do método: quando queremos a derivada direcional de uma função de duas variáveis num ponto e temos um vetor direção, o jeito mais direto é usar o gradiente de f e o produto escalar com o vetor unitário de direção. Vou usar esse método porque é curto, padrão para provas e evita cálculos desnecessários. Se o vetor direção não for unitário, primeiro normaliza-se; aqui eu vou verificar isso depois.

Passo 3

Definições e fórmula que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando só alteramos x deixando y fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \frac{\partial f}{\partial y}, mede como f muda quando só alteramos y deixando x fixo.
  • O gradiente de f é o vetor formado por essas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Se u é um vetor unitário na direção desejada, a derivada direcional de f em P na direção de u é
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário u.
Vou aplicar exatamente isso: calcular \nabla f, avaliar em P, garantir que v é unitário (ou normalizá-lo) e fazer o produto escalar.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f (usar regra da cadeia com calma).
Função:
f(x,y)=\sin(x^{2})-3y^{3}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: veja \sin(x^{2}) como \sin(u) com u=x^{2}. Pela regra da cadeia, derivada de \sin(u) é \cos(u)\,u'. Aqui u'=2x. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cos(x^{2}).
(Observe que o termo -3y^{3} não depende de x, então sua derivada parcial em relação a x é 0.)
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: -3y^{3} é uma função de y só; derivando y^{3} 3y^{2} e multiplicando por -3
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-9y^{2}.
( O termo \sin(x^{2}) não depende de y, então sua derivada parcial em relação a y é 0.)
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x\cos(x^{2}),\;-9y^{2}\bigr).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto P=(0,2).
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial x}(0,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=2\cdot 0\cdot \cos(0^{2})=0.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial y}(0,2):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=-9\cdot 2^{2}=-9\cdot 4=-36.
Logo
\nabla f(0,2)=(0,\;-36).

Passo 6

Verificar se o vetor v é unitário (se não for, normalizar).
Vetor dado:
v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Norma de v:
\|v\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}} =\sqrt{\frac{4}{4}} =\sqrt{1}=1.
Portanto v já é unitário, podemos usar u=v na fórmula.

Passo 7

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(0,2)\cdot v.
D_{v}f(0,2)= (0,\,-36)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+(-36)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Fazendo a multiplicação:
D_{v}f(0,2)=-36\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-18\sqrt{2}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o valor -18\sqrt{2} significa que, ao mover-se a partir de P na direção indicada por v com velocidade unitária, a função f decresce inicialmente à taxa de 18\sqrt{2} unidades por unidade de deslocamento (o sinal negativo indica decrescimento). Mandou bem procurando esta fórmula; ficou claro passo a passo!

Resposta

-18\sqrt{2}

Exercícios relacionados