Calcule a curvatura da curva:
\mathbf{r}(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica bidimensional
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{3},\,t^{2}\bigr)
e pede para calcular a curvatura da curva, ou seja, \kappa(t) em função de t.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • As componentes da curva são \;x(t)=t^{3}\; e \;y(t)=t^{2}\;.
  • O parâmetro t varia em \mathbb{R} (salvo observações sobre regularidade, que veremos adiante).

Passo 2

O que é curvatura e qual fórmula usar (explicação didática).
  • A curvatura \kappa de uma curva plana mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento de arco; formalmente é a taxa de variação do ângulo da tangente em relação ao comprimento de arco.
  • Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com derivadas suficientes, uma fórmula conveniente é
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando as partes dessa fórmula:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (componentes da velocidade \mathbf{r}'(t)).
  • x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (componentes da aceleração \mathbf{r}''(t)).
  • O numerador \bigl|x'y''-y'x''\bigr| é o módulo do “produto externo” entre \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (em 2D esse valor é a magnitude do análogo do produto vetorial).
  • O denominador \bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2} é a velocidade |\mathbf{r}'| elevada ao cubo; isso normaliza pela rapidez com que percorremos a curva.
  • Importante: essa fórmula exige \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} (ou seja, velocidade não nula). Se \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0} em algum t, o ponto não é regular e a curvatura clássica pela fórmula não está definida ali — pode haver um cusp ou ponto singular.

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras e segundas da parametrização (passo a passo).
  • x(t)=t^{3} implica
x'(t)=3t^{2},\qquad x''(t)=6t.
  • y(t)=t^{2} implica
y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.
Vou sempre escrever essas derivadas em TeX como acima para ficar claro.

Passo 4

Calcular o numerador da fórmula da curvatura:
N(t)=\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|.
Substituindo as derivadas:
x'(t)\,y''(t)=3t^{2}\cdot 2=6t^{2}, \qquad y'(t)\,x''(t)=2t\cdot 6t=12t^{2}.
Logo
N(t)=\bigl|6t^{2}-12t^{2}\bigr|=\bigl|-6t^{2}\bigr|=6t^{2}.
Nota: \;6t^{2}\ge 0\; já incorpora o valor absoluto.

Passo 5

Calcular o denominador da fórmula da curvatura:
D(t)=\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}.
Primeiro calcule x'(t)^{2}+y'(t)^{2}:
x'(t)^{2}+y'(t)^{2}=(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}=9t^{4}+4t^{2}.
Fatorando um t^{2}:
9t^{4}+4t^{2}=t^{2}\bigl(9t^{2}+4\bigr).
Agora elevando à potência 3/2:
D(t)=\bigl(t^{2}(9t^{2}+4)\bigr)^{3/2}=\bigl(t^{2}\bigr)^{3/2}\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}.
Lembrando que \bigl(t^{2}\bigr)^{3/2}=|t|^{3}, obtemos
D(t)=|t|^{3}\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}.

Passo 6

Montar a curvatura e simplificar (para t\neq 0 e observar o caso t=0).
A curvatura é
\kappa(t)=\frac{N(t)}{D(t)}=\frac{6t^{2}}{|t|^{3}\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}}.
Simplificando t^{2}/|t|^{3}=1/|t| (para t\neq 0):
\kappa(t)=\frac{6}{|t|\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}},\qquad t\neq 0.
Observações importantes sobre t=0:
  • Em t=0 temos \mathbf{r}'(0)=(0,0), isto é, a velocidade é nula e o parâmetro não é regular nesse ponto. Portanto a fórmula clássica da curvatura não se aplica em t=0: \kappa(0) não está definida pela fórmula anterior.
  • Analisando o limite quando t\to 0:
\kappa(t)\sim \frac{6}{|t|\cdot 4^{3/2}}=\frac{6}{8|t|}=\frac{3}{4|t|}\to +\infty,
ou seja, a curvatura cresce sem limite ao aproximar-se do ponto t=0, característica de um cusp (ponta) em \mathbf{r}(t).

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{6}{|t|\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}},\quad t\neq 0
\displaystyle \kappa(0) não está definida (o ponto t=0 é singular; a curvatura tende a +\infty quando t\to 0).

Exercícios relacionados