e pede para calcular a curvatura da curva, ou seja, \kappa(t) em função de t.
Informações fornecidas que vamos usar:
As componentes da curva são \;x(t)=t^{3}\; e \;y(t)=t^{2}\;.
O parâmetro t varia em \mathbb{R} (salvo observações sobre regularidade, que veremos adiante).
Passo 2
O que é curvatura e qual fórmula usar (explicação didática).
A curvatura \kappa de uma curva plana mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento de arco; formalmente é a taxa de variação do ângulo da tangente em relação ao comprimento de arco.
Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com derivadas suficientes, uma fórmula conveniente é
x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (componentes da velocidade \mathbf{r}'(t)).
x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (componentes da aceleração \mathbf{r}''(t)).
O numerador \bigl|x'y''-y'x''\bigr| é o módulo do “produto externo” entre \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (em 2D esse valor é a magnitude do análogo do produto vetorial).
O denominador \bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2} é a velocidade |\mathbf{r}'| elevada ao cubo; isso normaliza pela rapidez com que percorremos a curva.
Importante: essa fórmula exige \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} (ou seja, velocidade não nula). Se \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0} em algum t, o ponto não é regular e a curvatura clássica pela fórmula não está definida ali — pode haver um cusp ou ponto singular.
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras e segundas da parametrização (passo a passo).
x(t)=t^{3} implica
x'(t)=3t^{2},\qquad x''(t)=6t.
y(t)=t^{2} implica
y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.
Vou sempre escrever essas derivadas em TeX como acima para ficar claro.
Em t=0 temos \mathbf{r}'(0)=(0,0), isto é, a velocidade é nula e o parâmetro não é regular nesse ponto. Portanto a fórmula clássica da curvatura não se aplica em t=0: \kappa(0) não está definida pela fórmula anterior.
ou seja, a curvatura cresce sem limite ao aproximar-se do ponto t=0, característica de um cusp (ponta) em \mathbf{r}(t).
Resposta
\displaystyle \kappa(t)=\frac{6}{|t|\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{3/2}},\quad t\neq 0 \displaystyle \kappa(0) não está definida (o ponto t=0 é singular; a curvatura tende a +\infty quando t\to 0).